追寻原理，挖掘本质——巧用数形结合处理解析几何问题

熊 杰

（江苏省南京市文枢高级中学，江苏 南京）

解析几何是运用代数方法研究和处理几何问题的知识点，学生应对解析几何问题时总觉得运算繁琐，因此仔细挖掘几何意义，合理数形结合，往往能降低运算量，让问题顺利解决。

一、且算且思考，解题有技巧

例 1.已知过点 A（1，4）的直线 l与圆C： x2+y2-4x-4y+7=0交于 P，Q 两点，且立，因

方此法斜一率：存当在直，线斜率不存在时，不成消

设去lPQ：yy，-整4=理k（得x（-1k）2+，1与）x圆2-（C2 k方2-程4k联+4）立x+，k2-4k+7=0

设点 P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理

图1

将 y1=k（x1-1）+4，y2=k（x2-1）+4 两式代入（*）

化简求解得k=-1或k=-7，所以直线方程为y=-x+5或y=-7x+11

方法一采用代数方法运算求解，容易想到，但弊端也很明显，运算量明显偏大，很多学生中途算错或算不下去。如果能思考0的几何意义，则能得到更合理的方法。

方法二：圆 C：（x-2）2+（y-2）2=1，直线 l与圆 C 交于 P，Q 两点

当斜率不存在时，l：x=1与圆C相切，舍去。∴设直线方程l：y-4=k（x-1）

所以直线方程为y=-x+5或y=-7x+11

方法二由两向量垂直的几何意义，发现其几何图形特点，利用圆心到直线的距离来解答，过程简易。数形结合降低了运算量，提升了正确率。因此解题时要仔细地探索思考，一个条件往往能有多种解读，可能不只是一种结果，解题的时候切忌慌不择路，匆“匆谋忙定忙而确后定动的”计，认划真，往审往题不，仔是细好观的察计，划细，心可思能考事，倍努功力半产。生“解好题应想法”，自然事半功倍。

二、仔细审题，逐句分析

例2.如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m。经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m 处（OC为河岸），tan∠BCO=

图2

（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

1.分析：本题是2014年江苏高考应用题，求BC的长既可以看做几何图形的求长度问题，也可以从解析几何中的两点距离角度入手，关键在于观察角度。，求直线l的方程。

方法一：做BD⊥OC于D，做AE⊥BD于E（图2）

设 DC为xm，则OD=170-x，由 BD⊥DC，tan∠BCO=，BD=60，又 AB⊥BC，AE⊥BD，tan∠BAE=tan∠BCD=

方法一主要运用平面几何的解法，学生的平面几何还可以就没有太大问题。本题在图形体现了直角坐标系的特点，因此也可以用解析法。

方法二：以O为原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

由条件知 A（0，60），C（170，0），直线 BC 的斜率 kBC=-tan∠BCO=

解得a=80，b=120，所以BC=150.因此新桥长度为150m.

条件中的正切值既和直角三角形有关也和斜率有关，两种解法恰恰体现了平面几何和解析法的特点，只要平时多去思考，这些合理的方法都不难想到。

2.分析：第二关键是题意的理解和方法的选择，题目要求圆形保护区面积最大，自然等价于圆半径最大，而保护区所在圆与直线BC相切，因此考虑到从直线和圆的位置关系入手，再结合几何图形的特点，运用解析法无疑是比较合理的方式。

解：设保护区的边界圆M的半径为rm，OM=dm（0≤d≤60）

由条件知，直线BC的方程为y=-4（x-170），即 4x+3y-680=0 3

由于圆M与直线BC相切，故点M（0，d）到直线BC的距离是r，

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不小于80 m，

本题中的保护区和桥其实对应圆和直线两个图形，学生如果能从这两个几何图形关系入手解题方向应该更加明确，应用题只要能正确理解题意后往往就能迎刃而解。当然在处理最值问题时看清限制条件是什么，找出变量的范围也是关键的一环。

解析几何让几何和代数优美地结合起来，几何语言和代数语言的相互转化让解析几何的解答变得“精彩绝伦”，数形结合的思想也贯穿着高中数学的很多内容。正如著名数学家华罗庚所言：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”依托概念本质，充分探索解法，数形结合会让你解题游刃有余。