基于多目标优化NSGA2改进算法的结构动力学模型确认

赖文星， 邓忠民， 张鑫杰

（北京航空航天大学 宇航学院，北京100191）

1 引 言

多目标进化算法从20世纪90年代开始迅速发展，Deb等［1］提出第二代带精英保留策略的快速非支配排序算法NSGA2。NSGA2采用快速非支配排序方法，基于拥挤距离的分布性方法和精英保留策略，凭借简单及高效等优点，广泛应用于科学计算和工程设计等领域。Kollat等［2］将Epsilon支配概念引入 NSGA2，提出Epsilon-NSGA2算法；Zhang等［3］提出了基于分解的多目标进化算法MOEA／D，MOEA／D将多个目标分为若干组，再并行优化求解；Elhossini等［4］提出粒子群算法和进化算法的混合算法；Deb等［5］提出一种基于参考点的NSGA2算法，以提高高维优化能力；Shim等［6］将非支配排序与目标分解结合，以提高算法优化性能；Qiu等［7］提出用于多目标优化的自适应交叉差分演化算子。以上改进一定程度上改善了NSGA2的优化性能，但NSGA2还存在较多的设计缺陷，如计算复杂度较高、无法识别伪非支配解和拥挤距离公式不合理等。针对上述不足，本文提出一种基于支配强度的NSGA2改进算法，在非支配排序、分布性保持和精英保留策略三个方面对NSGA2进行改进，致力于提高该算法的计算效率、收敛性和分布性。

结构动力学模型确认是工程结构设计的主要组成部分之一［8］。2002年国际振动模态分析会议上，美国Los Alamos国家实验室首次提出关于有限元模型不确定性描述的讨论，并且率先开展了此项研究。Calvi［9］从灵敏度方法研究、有限元建模和贝叶斯估计方法等方面展开了研究。文献［10］利用模型确认方法对气动不确定建模问题进行了验证，证明模型确认方法的可行性。文献［11］提出基于蒙特卡洛法的结构动力学模型确认方法，将蒙特卡洛法与多元回归分析相结合，并分析了不同距离准则下的确认精度。但是，传统模型确认方法普遍采用单目标描述多个动力学特性与真实值之间的差异，并未考虑设计变量的干扰和忽视鲁棒性的影响［12］，对于复杂结构难以得到理想的确认结果。本文提出一种考虑鲁棒性的结构动力学模型确认方法，建立以马氏距离和鲁棒性作为优化目标的数学模型，并将INSGA2-DS改进算法应用于求解GARTEUR飞机模型算例。

2 基于支配强度的NSGA2改进算法

2.1 快速支配强度排序法

NSGA2采用快速非支配排序法，而传统的支配关系容易造成非支配集NDSet中存在大量伪非支配解，降低收敛效率和解集质量。为去除NDSet中的伪非支配解，INSGA2-DS引入支配强度：

式中 M为子目标数量，fmaxk和fmink分别代表NDSet中第k个子目标的最大值和最小值。

通过引入支配强度去除伪非支配解，保证性能优异的个体优先获得遗传，提高解集质量。

2.2 分布性保持方法

分布性是指与真实Pareto边界的相似程度和分布的广泛程度，反映解集分布的均匀性和多样性。NSGA2仅考虑个体与相邻个体之间的距离，在不同子目标上拥挤距离差异程度较大的个体无法获得更多的遗传机会，不利于保持分布性。本文提出一种考虑方差的新型拥挤距离公式为

经过上述计算后，种群个体都具有非支配集等级rank、支配强度ξ和拥挤距离iD三个参数。在INSGA2-DS中，先比较rank，其次比较ξ，最后比较iD。个体i优于个体j的比较算子如下，

ranki＜rankj或ranki＝rankj∩ξi＜ξj

或ranki＝rankj∩ξi＝ξj∩iD＞jD

2.3 自适应精英保留策略

NSGA2的精英保留规模是一个固定值，不利于解集收敛。INSGA2-DS采用自适应精英保留策略，进化前期，限制精英保留规模，增加解集多样性；进化后期，增加精英保留规模，提高算法收敛性。第k代种群精英保留规模Elitistk为

式中αk为第k代精英保留规模的影响因子，Pop为种群规模。αk的自适应迭代公式为

式中αk＋1为第k＋1代精英保留规模的影响因子，ρ为第k代种群的NDSet与Pop 的比值。

为了防止精英保留规模走向极端，本文设定，当αk＞0.8时，则αk＝0.8；当αk＜0.2时，则αk＝0.2。

2.4 进化操作

INSGA2-DS采用模拟二进制交叉和多项式变异产生子代。若进入交叉操作，从父辈中随机选取两个个体P1和P2，子代个体Q1和Q2计算如下，

式中β与随机数μ∈［0，1］有关，

式中ηc为交叉分布指数。

若进入变异操作，从父辈种群中随机选取一个个体P3，产生一个子代个体Q3，

式中 随机数r∈［0，1］，ηm为变异分布指数。

2.5 算法流程

INSGA2-DS的算法流程具体如下。

（1）随机初始化种群。

（2）利用快速支配强度排序法对种群中全部个体进行分层排序。

（3）根据种群个体的非支配等级、支配强度和拥挤距离，通过自适应精英保留策略，选择精英个体直接进入下一代种群。

（4）采用模拟二进制交叉和多项式变异方法，由父代种群产生子代种群。

（5）将父代种群中精英个体与子代种群混合组成下一代种群。

（6）若达到进化终止条件，则停止循环，输出结果；否则转至步骤（2）。

3 结构动力学模型确认方法

结构动力学模型确认通常采用蒙特卡罗模拟，对有限元模型进行随机性分析［13］。蒙特卡罗模拟存在计算量过大的缺点，而基于代理模型的蒙特卡罗模拟，可以极大降低计算时间［14］。首先，本文对结构有限元模型进行随机性分析，获得一组不确定性参数输入和动力学响应输出；然后，采用神经网络作为代理模型，得到模型不确定性参数与动力学响应的映射关系，再建立考虑鲁棒性的多目标优化模型；最后，采用INSGA2-DS算法进行求解。

3.1 神经网络代理模型

首先由输入样本X＝［x1，x2，…，xn］T和输出样本Y＝［y1，y2，…，ym］T建立神经元，

式中 wij为神经元j到神经元i的连接权值，θ为阈值，neti为神经元i的净激活，f为激活函数。采用双极S形激活函数，

采用Delta有导师学习算法，根据实际输出与期望输出差别来调整连接权，

式中α为学习速度，yi为神经元的实际输出，di为神经元i的期望输出。

3.2 考虑鲁棒性的多目标优化模型

选取固有频率作为动力学响应的对比参数。假设某结构前k阶真实固有频率为Freal＝［f＊1，f＊2，…，f＊k］T，模态分析所得固有频率为F＝［f1，f2，…，fk］T。为评价F 与Freal的真实差异，选取马氏距离作为评判指标，

式中 Σ－1为协方差矩阵的逆矩阵。

为计算各阶固有频率的偏离程度，选取相对误差的方差作为模型确认的鲁棒性指标。F与Freal的平均相对误差公式为

式中ωi为第i阶固有频率的权重系数。固有频率相对误差的方差计算公式为

因此，考虑鲁棒性的结构动力学模型确认方法的多目标优化模型为

式中 不确定参数X＝［x1，x2，…，xn］T，和分别为第i个不确定参数的最小值和最大值。X与固有频率F的映射关系由神经网络代理模型提供。

4 GARTEUR飞机模型算例

GARTEUR飞机模型是由法国航空航天研究院1995年设计制造的标准飞机模型，用来验证振动试验的分析技术［15］。本文用PATRAN建立GARTEUR的有限元模型，如图1所示。该模型由1704个节点及846个六面体单元组成，材料密度D ＝2.7g／cm3，弹性模量E ＝70GPa，泊松比μ＝0.3。

对GARTEUR的D和E进行确认，选取第1～10阶固有频率的测量值作为模型确认的真实值。用MATLAB软件产生56组D和E的随机数作为输入样本，D和E均服从正态分布，均值为μD＝3.0g／cm3和μE＝7.5243×1010Pa，变异系数θE＝θD＝0.1。用NASTRAN软件进行模态分析，取前10阶固有频率作为输出样本。通过神经网络代理模型，建立D和E与前10阶固有频率f1，f2，…，f10之间的映射关系，并建立考虑鲁棒性的结构动力学模型确认的多目标优化模型。

选取INSGA2-DS、NSGA2和MOPSO共3种算法，分别对上述多目标优化模型进行优化。算法参数设置为，种群大小50，进化代数100，交叉概率0.9，变异概率0.1，交叉参数和变异分布指数都为20。神经网络参数设置为，训练网络隐含层10，训练次数1000，全局最小误差0.0001，学习速率0.025。

从图2可以看出，INSGA2-DS计算所得的Pareto边界的收敛性和分布性均优于NSGA2，可以获得更多马氏距离更小、鲁棒性更好的解集；MOPSO的解集与INSGA2-DS的部分解集相近，但是很明显MOPSO陷入局部最优解集，没有获得更多鲁棒性更好的解集。

为具体比较3种算法的优化结果，选取每种算法Pareto边界最左上端和最右下端的个体，即马氏距离最小个体和鲁棒性最好的个体，分别记为目标1和目标2。具体结果统计列入表1，表中D，E和固有频率f的单位分别为g／cm3，GPa和Hz。

图1 GARTEUR飞机有限元模型Fig.1 Finite element model of GARTEUR aircraft

图2 GARTEUR模型确认优化结果比较Fig.2 GARTEUR model validation optimization results comparison

根据表1数据，计算3种算法模型确认结果与真实值的相对误差。马氏距离最小（目标1）和鲁棒性最好（目标2）两种情况下的相对误差如图3和图4所示。

从图3和图4可以看出，INSGA2-DS计算结果除第2阶固有频率f2和第7阶固有频率f7相对误差超过2%，其他参数的相对误差均低于2%，并且总体上优于NSGA2和MOPSO的计算结果。马氏距离最小时，INSGA2-DS，NSGA2和 MOPSO的相对误差的平均数分别为1.28%，3.70%和2.06%；鲁棒性最好时，INSGA2-DS，NSGA2 和MOPSO的相对误差的平均数分别为1.01%，3.40%和2.19%。NSGA2计算结果比INSGA2-DS差，但除了f3和f9，其他参数相对误差均小于5%；MOPSO 的计算结果介于INSGA2-DS和NSGA2之间。可见3种算法中，不论马氏距离还是鲁棒性，INSGA2-DS的相对误差均最小，优化性能最佳。

表1 GARTEUR飞机模型确认结果Tab.1 GARTEUR aircraft model validation result

图3 马氏距离最小的相对误差比较Fig.3 Relative error comparison on minimal Mahalanobis distance

图4 鲁棒性最好的相对误差比较Fig.4 Relative error comparison on the best robustness

为进一步比较3种算法的收敛性能，对GARTEUR模型进行了500次优化分析，马氏距离最小值和鲁棒性最小值的迭代结果如图5和图6所示。

从图5可以看出，在目标1马氏距离上，INSGA2-DS收敛最快，收敛至4.9附近；MOPSO收敛速度次之，NSGA2最慢，但都收敛至5.0左右。总体上，3种算法在马氏距离收敛性能上大致相当。

从图6可以看出，在目标2鲁棒性上，3种算法收敛速度差异不大，但最终INSGA2-DS，NSGA2和 MOPSO分别收敛至1.8×10－4，2.4×10－4和2.98×10－4；MOPSO陷入局部最优化，不确定参数的总体鲁棒性较差。与NSGA2和MOPSO相比，INSGA2-DS在马氏距离和鲁棒性上都具有更好的收敛性能。

图5 马氏距离迭代曲线Fig.5 Iteration curve of Mahalanobis distance

图6 鲁棒性迭代曲线Fig.6 Iteration curve of robustness

5 结 论

本文提出了一种基于支配强度的NSGA2改进算法，建立以马氏距离和鲁棒性作为优化目标的结构动力学模型确认方法，并将INSGA2-DS改进算法用于求解该多目标优化问题。研究结果表明，

（1）INSGA2-DS引入非支配强度，去除伪非支配解；改进拥挤距离计算公式，增加解集的多样性；采用自适应精英保留策略，提高算法收敛性能。改进算法有效地改善了NSGA2的设计缺陷，提高其求解复杂和非线性多目标问题的优化能力。

（2）神经网络代理模型通过对输入输出样本的拟合逼近，可建立不确定参数与动力学响应之间的映射关系，大大减少蒙特卡罗模拟的计算量，具有很强的非线性映射能力、容错能力和鲁棒性优势。

（3）与传统模型确认方法采用单目标优化不同，考虑鲁棒性的模型确认方法可获得同时满足多个不确定性量化指标的解集。GARTEUR算例中，INSGA2-DS解集的收敛性和分布性均优于NSGA2，多样性明显优于MOPSO，其收敛速度最快且解集质量最高，模型确认结果总体误差小于2%，满足实际工程需求。

考虑鲁棒性的结构动力学模型确认方法可以获得更多满足不同设计目标的解集，为实际工程应用提供一种有益的参考。此外，本文只考虑了待确定参数，并未考虑其他参数可能存在微小扰动对模型确认精度的影响，还有待对鲁棒性进行进一步研究。