区间参数结构平稳随机载荷识别方法

祁武超， 刘 恒

（沈阳航空航天大学 航空航天工程学部，沈阳110136）

1 引 言

工程结构反演问题的研究始于20世纪70年代，主要是为了更准确地了解飞机飞行过程中的受载情况［1］。工程结构反演问题中，一般将动载荷分为确定性载荷和随机载荷。最初，随机动载荷的识别方法是基于直接求逆思想进行；随后引进了谱分解的理论。Lin等［2］引入谱分解理论，将振动响应的功率谱密度矩阵进行谱分解，然后通过构造逆虚拟激励计算得到逆虚拟谐波响应，最后识别出随机动载荷的功率谱密度矩阵。姜金辉等［3］根据谱分解理论，提出了多点任意相关的随机动载荷识别方法。Jia等［4］分析了在随机动载荷识别过程中误差的来源及对结果的影响，并提出了一种考虑识别误差的随机载荷识别方法。

外载荷大多具有随机性，工程结构本身也有很大的不确定性。工程结构的动载荷识别方法中，处理结构不确定性的方法主要有概率模型和区间模型［5］。当工程结构中的不确定性量具有充足的样本信息时，使用概率模型是合理的。然而，工程结构中能够得到的不确定量信息往往较为贫乏。此时，若使用区间变量来描述结构体系中的不确定性参数，工程反演问题将得到极大简化。并且当工程结构中含有不确定性量时，确定不确定性量包含的区间界值要比确定其统计约束更为容易［6］。

区间模型在不确定性结构动力学响应分析中的应用已经较为成熟，Qiu等［7，8］利用区间分析方法对不确定性结构进行了动力学响应分析。Jiang等［9］提出基于区间分析的不确定性反求方法，并将该方法用于复合材料层合板的材料参数识别中。Liu等［10］提出了一种将区间分析与正则化相结合的不确定性结构的动态载荷识别方法。王晓军等［11］基于格林函数提出了一种动载荷识别的区间方法。Xiao等［12］基于区间有限元与伴随优化，提出了一种结构静力参数载荷识别的区间方法。祁武超等［13］基于一阶Taylor展开方法和区间数理论，提出了一种不确定性结构简谐激励载荷的识别方法。

本文针对贫信息下的不确定性结构随机载荷识别问题，将不确定参数描述为区间变量，在频域中，使用基于Taylor展开的区间分析方法处理结构体系中的不确定因素，最后给出待识别随机载荷的功率谱密度的区间界值。在频域中，构建频响函数矩阵、载荷功率谱密度矩阵和响应功率谱密度矩阵之间的传递关系，通过频响函数矩阵求逆，计算各不确定性量抽样点处的待识别载荷功率谱密度。

2 问题描述

对于一个n自由度系统，其振动微分方程通常可以描述为一个依赖结构参数的线性方程，

式中 M，C，K∈Rn×n，F ∈Rn，u∈Rn，h∈Rm，且h为工程结构中的参数向量，如材料密度和弹性模量等参数。通常情况下很难给出工程结构参数的准确值。一般可以根据实验方法给出结构参数的上下界值，满足

根据区间数学中的记法，可将约束条件式（2）记为

式中hI＝［h－，h＋］＝［］×，］×…×［］，h为区间参数向量，hi为区间参数变量。在式（1）所述的n自由度系统中，设置Ni个加载点，加载方式为平稳随机激励，加载在位置p1，p2，…pNi处，平稳随机激励力向量为

测量点的个数为No个，分别布置在l1，l2，…，lNO处。要对式（4）的随机激励力向量进行识别，需要通过实验测得l1，l2，…，lNO处各测点的随机响应值，且一般要求Ni≤No。

由于随机激励有别于确定性激励，所以一般不能对加载的随机激励直接进行载荷识别。在已知随机激励作用位置的条件下，通过响应信息和结构的传递特性来识别随机激励的功率谱密度。当式（4）为一个均方连续的平稳随机过程时，工程结构的随机激励与随机响应之间的关系可表示为

在对式（5）进行载荷识别得到平稳随机激励的谱密度矩阵的过程中，由于结构参数具有不确定性，使得反演所得到的谱密度矩阵也具有不确定性。通常情况下，难以在式（3）确定的约束条件下直接反演式（5）的解集。解集合Γ可表示为

对具有区间参数的工程结构进行载荷识别的目的是找到一个包含Γ的最小区间SIFF（h，ω），并称SI

FF（h，ω）为式（5）在式（3）所示约束下的区间界值。

3 确定性频域随机载荷识别方法

不确定性向量h∈hI的一个样本h＝［h1，h2，…，hm］，可转变为一个确定性随机载荷识别问题。记此时系统的第r阶固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼分别为ωr，r，mr，kr和ζr，并记模态矩阵为Φ，频响函数矩阵为H（ω），则在频域内，随机激励fp（ω）对位置lj的频响函数i为［14］

由频响函数的物理意义可知，系统在lj处的位移由随机激励力fpi（ω）（i＝1，2，…，Ni）在lj处引起的位移叠加形成，有

对于随机载荷频域识别，由上文可知待识别载荷数为Ni，实测响应数为No，则式（8）随机激励力与响应之间的关系由功率谱密度函数表示为

式（9）可重写为矩阵形式：

式中 SXX（ω）No×No和SFF（ω）Ni×Ni分别为实验测得的各响应间的功率谱密度矩阵和待识别各载荷间的功率谱密度矩阵。一般在进行载荷识别时，要求的测点个数多于待识别载荷数，即Ni≤No，所以式（10）中H（ω）为列满秩，可使用各响应的自功率谱密度来反演各激励的自功率谱密度，

式中 上标＋为Moore-Penrose伪逆。

4 基于Taylor展开的区间分析

当系统结构参数包含区间变量h时，则识别的各载荷间的功率谱密度也将包含不确定性影响，可将式（11）改写为

将式（12）在区间向量h的中点向量h0处进行一阶Taylor展开，得到

则有向量h0使式（14）的随机载荷识别系统成立，

根据式（13）估算待识别随机激励力的功率谱密度的区间界值，还需求出SFF（h，ω）关于区间向量h在中值向量h0处的灵敏度 SFF（h0，ω）／ h，并且该灵敏度在工程结构载荷反演过程中也是未知的。工程中常使用函数的差分代替微分，在此可使用式（15）计算灵敏度，

式中 δh为关于向量h的摄动，其中SFF（h0＋δh，ω）可通过式（12）计算得到，即

根据自然区间扩张定理［15］，可以得到所识别各载荷间的功率谱密度SFF（h，ω）的区间界值为

由区间数相等的充分必要条件，可得待识别各载荷间的功率谱密度SFF（h，ω）一阶近似响应函数的界值为

h0－h－＝h＋－h0为区间端点到区间中值的距离，记为Δh，称为区间半径向量，则式（18，19）可改写为

上述非概率区间载荷识别方法在不确定性参数的名义值点处进行一阶Taylor展开，则不确定性结构随机载荷识别问题变为不确定性参数的名义值点处进行随机载荷识别问题和计算载荷关于不确定性参数的灵敏度问题。当系统中的不确定性参数为m个时，此方法需要进行m＋1次原问题规模的识别过程。因此，相对于概率方法，区间方法不仅能在贫信息下有效地进行载荷识别，还能够提高不确定性结构载荷识别的计算效率。

5 数值算例

5.1 平面10杆桁架

图1所示的平面10杆桁架结构中，材料的弹性模量为E，质量密度为ρ，截面积为A。在节点4处y方向施加一随机激励力，通过测量其他节点上的位移响应信号，对节点4处的随机激励进行载荷识别。为验证结果的正确性，在节点4处y方向施加一随机激励力，其自功率谱密度如图2所示。然后，计算得到其他节点上位移响应信号的功率谱密度。考虑结构中有可用区间参数描述的不确定性量时，使用计算得到的位移响应信号功率谱密度反演得到加载在节点4处随机激励的功率谱密度。在进行载荷识别时应尽量避开共振频率，系统阻尼假设为比例阻尼，比例阻尼系数分别为a＝0.002，b＝0.0035。

取弹性模量E和质量密度ρ为不确定性量，使用区间参数EI和ρI描述，即有区间向量h＝［EI，ρI］，其中A＝1×10－4m2，L＝1m，E和ρ的中值取E ＝2.1×1011Pa，ρ＝7.8×103kg／m3。当区间向量h＝［EI，ρI］的区间变差为5%时，分别使用1号节点x方向的位移响应信号、2号节点y方向的位移响应信号和3号节点y方向的位移响应信号来进行随机载荷识别，结果如图3～图5所示。

图3～图5分别给出了区间向量h＝［EI，ρI］在相同区间变差下，不同位移响应信号时随机载荷识别结果的上下界值。可以看出，在不同节点位移响应信号下，载荷名义值都能落在识别结果的区间界值中，并且由表1可知，不同识别结果的区间半径都相差很小。该识别方法基于仿真模型的响应数据测量，在不考虑测量噪声的基础上，对节点选择的依赖性较小。若基于实测信号进行载荷识别，则应将测点布置在载荷作用点附近，并且各测点之间不宜有太大的相关性。

图1 平面10杆桁架Fig.1 10-bars truss structure

图2 节点4处施加的随机激励力的自功率谱Fig.2 Power spectral density of random excitation force of node 4

表1 不同情况下载荷识别结果区间半径（×10－3（kg·m）2·s－3）Tab.1 Interval radii of load identification results in different cases

图3 依据1号节点x方向位移的识别结果Fig.3 Identification results using horizontal displacement responses of node 1

图4 依据2号节点y方向位移的识别结果Fig.4 Identification results using vertical displacement responses of node 2

图5 依据3号节点y方向位移的识别结果Fig.5 Identification results using vertical displacement responses of node 3

图6 不确定性量在不同变差时的载荷识别结果Fig.6 Results of the uncertainty of the uncertainties in different variations

考虑区间向量h＝［EI，ρI］的区间变差分别为2.5%，5%，7.5%和10%时，使用2号节点y 方向的位移响应信号进行载荷识别。可以看出，当使用相同的位移响应信号进行载荷识别时，受到不确定性量区间变差的影响，载荷识别界值将随着不确定性量变差范围的增大而增大。其中，在相同区间变差下，低频段识别结果的区间半径要大于高频段的区间半径，这主要是由于系统的共振点在低频段，并且阻尼系数引起的误差累积在共振点附近的低频段得到放大，而远离共振频率的高频段受阻尼的影响更小，识别结果更好。

5.2 机翼结构

建立如图7所示的机翼结构有限元模型，其中材料的弹性模量为E，质量密度为ρ，约束机翼一端。在节点P处z方向施加一随机激励，随机激励的功率谱密度为冯-卡门谱［16］：

式中 L＝0.01，σ2j＝500，50≤ω≤1000，采用测量得到的节点M处z方向的位移响应信号进行载荷识别，反演节点P处施加随机激励的功率谱密度。

机翼结构参数中的弹性模量E和质量密度ρ为不确定性量，使用区间参数EI和ρI进行描述，即可将结构中的不确定性量表示为区间向量h＝［EI，ρI］，其中E 和ρ的中值分别取为E ＝2.1×1011Pa，ρ＝7.8×103kg／m3。当区间向量h＝［EI，ρI］的区间变差分别为2.5%，5%，7.5%和10%时，采用测量得到的节点M处z方向的位移响应信号的功率谱密度来进行识别，得到加载点P处随机激励的功率谱密度的上下界值。其中，使用MSC Nastran计算M处测量的z方向位移响应信号和频响函数矩阵信息。

图7 机翼结构有限元模型Fig.7 Finite element model of wing structure

表2 机翼结构模型前十阶固有频率Tab.2 Frequency of the first ten steps of the wing structure model

图8 不确定性量在不同变差时的载荷识别结果Fig.8 Results of the uncertainty of the uncertainties in different variations

表2给出了机翼结构的前十阶固有频率，图8给出了区间向量h＝［EI，ρI］在不同区间变差下的识别结果。可以看出，载荷名义值都能落在识别结果的区间界值中，区间向量变差越大，得到的识别结果区间界值越宽。系统激励频率为50≤ω≤1000，不包含机翼结构的结构基频。其中，在相同区间变差下，低频段低阶固有频率附近的识别结果较差，这是由于系统的共振点在第二阶固有频率处，由阻尼系数引起的误差累积在共振点所在的低频段得到放大。随着固有频率阶次的增加，其识别效果越好，这是由于随着固有频率阶次的增加，系统激励频率远离共振频率，阻尼对识别精度的影响也越来越小。

6 结 论

针对贫信息下不确定性结构的随机载荷识别问题，在频域中，将结构体系中的不确定性参数用区间变量描述。使用基于Taylor展开的区间分析方法处理结构体系中的不确定因素，给出了一种不确定性结构平稳随机载荷识别的非概率区间方法。数值算例结果表明，在进行载荷识别时，受不确定性量的影响，不确定性量确定的区间范围越大，识别出的区间界值越宽。本文方法可为在贫信息下不确定性环境中的结构设计提供更为可靠的载荷工况。