导数求函数零点存在区间取点探析

■浙江省仙居中学高三(5)班 吴浩芸

对于求解函数零点的问题，不管正向还是逆向，思路都是一致的，根据函数的导函数讨论函数单调性，然后找到极值，再根据函数的零点存在定理，找到符合题目条件的情况进行分析。下面举例说明。

例1(2018年全国新课标Ⅱ卷文)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1)。

(1)若a=3，求f(x)的单调区间;

(2)证明:f(x)只有一个零点。

解：(1)易知，当a=3 时，f(x)在(-∞，3-2)，(3+2，+∞)上单调递增，在(3-2，3+2)上单调递减。

(2)由于x2+x+1＞0，所以f(x)=0等价于

又f(3a-1)=-6a2+2a-=＞0，故f(x)有一个零点。

综上，f(x)只有一个零点。

探析：计算f(3a+1)和f(3a-1)这一步非常巧妙，是怎么想到的呢?

例2(2017年全国新课标Ⅰ卷理)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围。

解：(1)易知，若a≤0，f(x)在(-∞，+∞)上单调递减;若a＞0，f(x)在(-∞，-ln

a)上单调递减，在(-lna，+∞)上单调递增。

(2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点。

(ii)若a＞0，由(1)知，当x=-lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(-lna)=1-

①当a=1时，由于f(-lna)=0，故f(x)只有一个零点;

综上，a的取值范围为(0，1)。

探析：为什么要计算f(-1)，这一步，是怎么想到的呢?

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。若a∈(0，1)时，当x→-∞时，f(x)→+∞;当x→+∞时，f(x)→+∞;在x=-lna的左右两侧探求f(x)＞0，可能的选择很多，既要根据函数解析式，考虑取值计算容易，又要能捕捉常见的不等式。

当a∈(0，1)时，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ae2x+aex-x-2ex＞-x-2ex，很自然就会想到，如果令-x-2ex＞0，就会有f(x)＞0，就探求到了f(-1)。

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ex(aex+a-2)-x。考虑到常见不等式ex≥x+1＞x，很自然就会想到，如果令aex+a-2=1，就会有f(x)=ex-x＞0，解方程得x=

例3(2016年全国Ⅰ卷文)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2。

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围。

解：(1)当a≥0时，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增。

(2)(ⅰ)设a＞0，则由(1)知，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增。

又f(1)=-e，f(2)=a，取b满足b＜0且b＜ln，则f(b)＞(b-2)+a(b-1)2=a（b2-b）＞0，所以f(x)有两个零点。

(ⅱ)设a=0，则f(x)=(x-2)ex，所以f(x)只有一个零点。

综上，a的取值范围是(0，+∞)。

探析：取b满足b＜0且b＜ln，则f(b)＞(b-2)+a(b-1)2=a（b2-b）＞0，对于这一步，是怎么想到ln的呢?f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，a＞0，当x→-∞时，f(x)→+∞，所以选取的b应小于0，并且越远离a，满足f(b)＞0的可能性越大，可以考虑用部分控制法，请同学们尝试一下。

例4(2015年全国新课标Ⅰ卷文)设函数f(x)=e2x-alnx。

(1)讨论f(x)的导函数f'(x)的零点的个数;

解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2e2x-(x＞0)。

当a≤0时，f'(x)＞0，f'(x)没有零点。当a＞0时，因为e2x单调递增，-单调递增，所以f'(x)在(0，+∞)上单调递增。又f'(a)=2e2a-1＞0，当b满足0＜b＜且b＜时，f'(b)＜0，故当a＞0时，f'(x)存在唯一零点。

(2)略。

探析：如何选取b，使得f'(b)＜0，是怎么想到和的呢?

因为f'(x)在(0，+∞)上单调递增。f'(a)＞0，所以选取的b应小于a，并且越远离a，满足f'(b)＜0的可能性越大，取，若，得0＜a＜2ln2。-4a＜0，得a＞。又由于2ln 2＞2ln＜1，则=(0，+∞)，所以当a＞0时，＜0至少有一个成立。其实b也可以取…如取-8＜0，得0＜a＜4ln 4。当a≥4ln4时，可以利用a的范围采用参数放缩法，由于y不含参数并且递增，2e-8ln4=2(e-4ln4)＜0。