对一道几何综合题的解答与反思

何春华

原题呈现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立.

（1）当△ABC绕点A逆时针旋轉α（0°<α<90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请说明；若不成立，请说明理由.

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.

①求证：BD⊥CF；②当AB=2，AD=32时，求线段DH的长.

本题第（1）问、第（2）问①比较简单，在此不多说明.关于第（2）问②求DH的长度，备课组教师在复习教学时展开热烈讨论，并呈现出不同的解题思路.而学生对此问的解法似乎更胜一筹，值得教师反思总结.整理如下：

解法1（学生1的解答）：注意到本题中存在一个“8”字形相似，如图4所示，因此求DH的长考虑分别求出DN和HN的长即可.求DN在Rt△AND中用勾股定理求，求HN利用相似三角形解题.

设AF与BC交于点M，在Rt△CAB中，AC=AB=2，由勾股定理得：BC=22.由旋转45°可知：∠CAF=∠BAF=∠BAD=45°.∴CM=BM=2，∠AMB=90°=∠DAF，∴BM∥AD，∴△NMB∽△NAD，∴NMNA=BMAD，∴NM=22，∴AN=322=FN.在Rt△AND中，由勾股定理得DN=3210；由①可知BD⊥CF，∴∠DAN=∠NHF=90°，又∠HNF=∠DNA，∴△HNF∽△AND，∴HNFN=ANDN，∴HN=31010，∴DH=HN+DN=3210+31010=9510.

反思：求线段长度一般可利用勾股定理或三角形相似解决，这种解法分别求出构成一条线段的两部分长，需要我们熟悉三角形相似的基本图形，对同学们的能力有较高的要求.

解法2（学生2的解答）：观察图形可知DH=BD+BH，因此可分别求出BD与BH的长.

由图4可知AM=2，∴FM=22.在Rt△CMF中，由勾股定理得CF=10，由（1）可知BD=CF=10.如何求BH呢？仔细观察图形，可以发现Rt△CMF与Rt△CHB中有公共角：∠FCB，∴sin∠FCB=FMCF=BHBC，∴2210=BH22，∴BH=4510，∴DH=BD+BH=9510.

反思：学生2的解答运用了两个直角三角形的公共角的锐角三角函数解题，实现了快速解题，这种方法相对思维含量较高，要能发现Rt△CMF与Rt△CHB中的公共角，往往角等则这两个角的锐角三角函数相等，借助这一关系可列出方程解题，这也是常规思维，值得学习.

解法3：（学生3的解答）由于BD⊥CF，FM⊥BC，因此FM、BH都是△BCF的高，利用三角形面积的不同表示方式也可以求出BH的长.

由解法1、2可知：BC=22，CF=10，NM=22，FN=322，∴FM=22.由S△BCF=12BC×FM=12CF×BH，∴12×22×22=12×10×BH，解得BH=4510，问题得解.

反思：三角形的面积与高紧密相关，建立面积与高的思维联系是一种常规的通性通法，需要不断强化对这种方法的认识.

总结：在数学习题课教学中，要给学生留足探究的空间，学生会在探究中有所收获，同时也给学生留足思维的空间，学生能思考的问题要留给学生思考，让学生在思考中学会思维.数学素养的培养是“悟”出来的，而不是“教”出来的，在习题课中充分展示学生的思维，引领学生灵活探究，给学生眼前所需要的知识技能、方法技巧等应试素质，从而为培养学生未来发展所需要的数学素养打好基础.