数形结合 架设算理与算法的桥梁

刘庆弟

数学家华罗庚教授说过：数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休。《数学课程标准》要求：“数”与“形”相结合，相互渗透，把数的精确与图形的直观描述相结合，以形理解数。所谓数形结合是数学中抽象的数学概念、计算方法、数量关系与直观的图形结合起来，更好理解和把握数学的本质。那么，在数学教学中，如何做到数形结合呢？下面以人教版六年级上册第三单元“一个数除以分数”教学为例，阐述教师如何借助直观图形让学生理解分数除法的算理，从而归纳总结出分数除法的计算方法，让数形结合的数学思想为算理与算法架设一座桥梁。

一、数形结合，直观感知

教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验基础，在新课学习前需要唤醒已经获得的经验为起点，设计符合学生认知水平的数学活动，为学习新知识作铺垫，实现知识的迁移以及探索方法的迁移，达到温故而知新的学习效果。在教學“一个数除以分数”课始时，教师让学生折一折，涂一涂来复习验证前面所学的一个数除以整数的算理和计算方法。新课导入渗透数形结合的思想，让学生直观感知知识。

片段一：

师：同学们，还记得我们学过的分数除以整数是怎样除的吗？请同学们口答下面两道除法，并说说你的想法。

课件出示：

口算：

生： 等于把一张纸的 平均分成2份，取其中的1份，也就是求 的 。（学生边操作演示边说）

师：同意吗？

生：同意，阴影部分就是占这张纸的 。

生：我是把一张长方形纸平均分成5份，取其中的3份，再把这3份对折，也就是平均分成2份，涂其中的一份，结果阴影部分占这个长方形的 ，所以我认为刚才某某同学是正确。

生： 就是把 分成3份，取其中的一份，也就是求 的 是多少。（学生边操作演示边说）

师：你们真棒！不但掌握了分数除以整数的方法，还会从乘、除法的意义去理解算法，更棒的是能通过分一分，折一折，涂一涂，等操作，借图示来理解算法和验证结果。

师：今天，我们还可以运用刚才的操作方法来研究新的知识。

利用上面两道铺垫练习为新旧知识的衔接，新旧经验的对接做了充分的准备，为探索新知提供了探究的方法。

二、数形结合，明理知法

《标准（2011版）》指出：“通过操作和直观图示帮助学生理解分数乘除法的算理，掌握计算方法。”也就是要求课堂上加强直观教学，结合实际操作和图形语言，探索、理解计算方法。而且分数乘除法计算教学的重点是让学生理解算理，掌握计算方法。如果只让学生记住分数乘除法的计算法则并不困难，但我们不但要让学生知其然，更要知其所以然。分数除法是小学数学教学与运算内容中的重点和难点，主要包括分数除以整数、整数除以分数和分数除以分数等类型，并经过循序渐进的教学后将算法统一为“除以一个数等于乘这个数的倒数”，因此，如何让学生既理解算理，又掌握算法， 便成为本节课的难点。为了突破这一教学难点，在教学分数乘除的计算时，教师应注意渗透数形结合、归纳等数学思想方法，设计有效的数学探究活动，在“做”和“思考”的过程中逐步积累数学活动经验。引导学生经历算法的自主探索过程，并将探索的过程进行总结和反思，形成普通适用的计算法则。

运用数形结合帮助学生明白算理，从而掌握计算方法，这是一个厚积薄发的过程，应贯穿于整个数学教学。教学时，教师要用好这些直观手段，给学生充分提供动手的机会和时间，让更多的学生在操作观察的过程中，凭借直观，理解算理发现算法。要提高这些教学活动的有效性，还需要教师给予适当的点拨，引导学生将数与形结合，边操作，边观察，边思考，并通过讨论交流，在理解的基础上总结和掌握算法。在计算分数除法时，通常出现的错误是有些同学直接约分或把被除数倒了，变成乘被除数的倒数。学生也许会出现种种千奇百怪，令你意想不到的错误，原因就是学生不明白算理造成计算方法的混乱。所以我们要为学生提供充分开展数学活动的机会，让学生通过操作，观察，数形结合来理解算理，归纳计算法则。

三、数形结合，提炼概括

鲁宾斯坦曾说过：“思维是在概括中完成的。”验证计算结果是否正确是对运算过程方法和结果的反思及检验，也是积累运算经验、提高运算能力的重要手段。验算的方法有多种多样。如重算一遍，用加法验算减法，用乘法验算除法等等。

例如，“一个数除以分数”为例，教师引导学生采用新颖的验证方法：①把分数转化为小数来验算：4÷ =4÷0.5=8;②运用商不变的规律，把除数转化为整数来除：4÷ =（4×2）÷（ =8;③运用数形结合法，让学生看图解说验证。生说：4个饼共有12份，每2份一人，可以分6人，也就是4÷ =4×3÷ =4×3× =4 =6;

学生的多种验证方法，是对计算过程的反思，这样的反思既把新知转化为旧知，又实现了旧知的迁移，使新知识与旧知识融为一体。数形结合使学生做到了勇于猜想，敢于验证，大胆创新。同时培养了学生善于观察、深入思考、多角度发现问题的良好学习习惯及严谨的学习态度。

数形结合在学生整个小学数学学习过程中都发挥了桥梁的作用。运用数与形的结合，让学生经历探究方法——明白算理——归纳算法——反思验证的过程。引导学生积极参与整个教学过程，这样才能激发学生学习数学的兴趣，提高他们终身学习的能力。