基于数学核心素养下的课堂教学研究

摘 要：前不久，本人参加了由天津市数学会和河北省数学会联合组织的“津冀”中高级教师优质课比赛，并获得一等奖，我授课的课题是《向量加法运算及其几何意义》，对于本次比赛，我收获颇丰，主要是对于数学学科核心素养有了更加深入的理解，下面是本人对于数学核心素养下的课堂教学的一点点想法，不妥之处欢迎大家批评指正。

关键词：核心素养;兴趣;引导

首先谈一下数学核心素养的内容，主要是包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立又相互交融，是一个有机的整体。它们各自具有鲜明的特征、独有的内活，以及清晰、特指的价值取向;同时，它们组成一个有机整体，相互交融，体现在学生学习数学和运用数学解决问题的过程中，呈现出整合性和综合性的特点。

这节课的标题是《向量的加法及其几何运算》，这节课是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算，是向量的第二节内容。其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解，同时也为接下来学习向量的减法奠定基础，起到承上启下的重要作用。本节课通过任务驱动，将向量加法运算及其几何意义主要知识内容划分成几个主要任务，通过教师与学生合作探究的方式，完成任务，获取知识，得到启发，从而培养学生的数学抽象和数学建模等数学核心素养。任务一：根据引例1，2内容和已有知识，作出两个已知向量的和向量，其中包括两个探究问题：（1）不共线向量和向量作法;（2）共线向量和向量作法。任务二：研究和向量的模与两向量模和与差的关系，也是在两向量共线和不共线不同情况下进行分析，得出结论。任务三：探究得出向量加法的交换律与结合律，这个环节通过两幅图让学生进行观察，教师引导，得出运算律。任务四：使学生体会建模思想，从实际问题抽象出数学模型，加以解决的过程。采取的是教师学生合作探究的方式。任务五：小结的内容从教学中涉及的数学问题、数学方法和思想、数学核心素养等方面进行，学生回答教师点拨的方式，启发培养学生归纳问题的能力。

在这节课中，通过任务驱动，将向量加法运算及其几何意义主要知识内容划分成几个主要任务，通过教师与学生合作探究的方式，完成任务，获取知识，得到启发，从而培养学生的数學抽象和数学建模等数学核心素养。任务一是根据引例1，2内容和已有知识，作出两个已知向量的和向量，其中包括两个探究问题：（1）不共线向量和向量作法;（2）共线向量和向量作法。任务二是研究和向量的模与两向量模和与差的关系，也是在两向量共线和不共线不同情况下进行分析，得出结论。任务三是探究得出向量加法的交换律与结合律，这个环节通过两幅图让学生进行观察，教师引导，得出运算律。任务四是使学生体会建模思想，从实际问题抽象出数学模型，加以解决的过程。采取的是教师学生合作探究的方式。任务五是小结的内容从教学中涉及的数学问题、数学方法和思想、数学核心素养等方面进行，学生回答教师点拨的方式，启发培养学生归纳问题的能力。

向量的加法是向量的第二节内容。其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解，同时也为接下来学习向量的减法奠定基础，起到承上启下的重要作用。

培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。在向量加法的概念中，由于涉及两个向量有不平行和平行这两种情况，因此有利于渗透分类讨论的数学思想，而在猜测向量加法的运算律时，通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比。则能培养学生类比、迁移等能力。在实际教学中，类比数的运算，向量也能够进行运算。运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。实际上，引入一个新的量后，考查它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题。教师应引导学生体会考查一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能准确、方便地实施运算。

向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的。这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上，还需注意，进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题，从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别。这样做，有利于学生更好地把握向量加法的特点。

在这个环节，由数的运算类比到向量的运算，包括随后的由数的加法运算律类比到向量的加法运算律，实际上都是培养了学生的逻辑推理的数学素养。

在上课刚一开始，我先抛出问题：同学们知道，实数可以进行运算，那么向量呢？是否也能够进行运算？对于这个问题，学生在没有接触向量运算的情况下，不容易作出回答，接下来，我进一步引导：教材第二章扉页：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。通过这句话，我们显然可以看出，向量是可以进行运算的。既然如此，我们自然会想到这样的问题：（1）向量是否也能进行运算？（2）用怎样的符号表示呢？（3）如何理解向量的运算及其几何意义？于是我给出了引例1：我们知道京津冀一体化这是重大的国家战略，自从提出以来，三地公路建设事业迅猛发展，给北京、天津和河北三地生产、生活带来了方便。现有一辆快递运输车从石家庄出发，先到北京，再到天津，问怎样计算运输车的位置？

学生回答的基础上，抽象可得，先从A到B，再从B到C，那么运输车的位移是位移AC。也就是位移AC是位移AB和BC的合成。这里构成了一个三角形，因为位移本身就是向量，所以这里的位移的合成其实就是向量的加法，也就是向量AC就叫做向量AB和BC的和。于是给出定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。注意记法跟实数加法中的加号是一致的。于是归纳定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。同时给出引例2：物理当中我们都做过这样一个实验，如果一根橡皮条在两个力F1和F2的作用下，与在一个力F的作用下，伸长的长度相同，那么我们把力F叫做F1与F2的合力。当我们改变力F1和F2的大小和方向，力F重也会随之改变。这时合力F与力F1、F2从方向和大小上有什么样的关系？力F的方向在以F1、F2为邻边的平行四边形对角线上（以F1、F2共同的起点为起点），大小就等于平行四边形的对角线长。因为力本身也是向量，所以这里的力的合成其实也可以看作向量的加法。也就是F=F1+F2。

在处理引例1和引例2的過程中，显然能培养学生的数学抽象的素养，因为数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。通过引例1中的路线图和引例2中的力的合成图，学生容易抽象出向量加法的概念的几何意义，这对于数学抽象素养的培养显然意义重大。

接下来进入到合作探究环节，从前面两个例子可以看出，位移、力的合成都可以看成向量的加法，那么，对于任意给定的两个向量a，b，我们能不能从上面两个例子中得到启发，用两种方法作出a与b的和呢？我给出了三个探究问题：探究问题1是对于两个非零不共线向量，求作两个向量a与b的和。活动设计是独立探究，然后小组合作学习，小组代表进行实物展示。学生大部分都会是把一个向量起点平移到另一个向量的起点，也可以是平移到平面上任意一点，要点是共起点。探究问题2是两个非零共线向量求作下面两个向量a与b的和。活动设计是独立探究，然后小组合作学习，小组代表进行实物展示。然后师生归纳得出，共线时，既不能作三角形，也不能作平行四边形，但是仍然可以用“首尾相接，起点指向终点”的方法得出。探究问题3是对于零向量与任一向量，能否用前面的方法求两向量的和？活动设计是独立思考后作答。后师生归纳：不能，所以需要补充规定。

然后给出任务二是探究并总结|a+b|与|a|+|b|，|a|-|b|的关系，体会向量加法与数的加法的区别与联系，阶段目标是通过对|a+b|与|a|+|b|，|a|-|b|的探究，体会向量加法与数的加法的区别与联系以及利用数形结合得到结论的方法。活动设计是学生先独立探究，再合作学习，小组代表回答。然后师生归纳得出关系式。

之后的任务是探究向量加法的运算律，并进行证明。通过学生细致观察，发现并总结出向量加法的交换律和结合律，这仍然是培养了学生数学抽象的学科素养。

有了前面知识之后，给出了一道实际应用问题：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;（2）求船实际航行的速度大小与方向。（用与江水速度间的夹角表示）

完成前几个任务之后，本节的主干内容也就结束了，之后是小结提升环节，也就是任务五，这部分看似简单，也是本节课中画龙点睛之笔。

阶段目标是通过对实际问题的解决，培养学生数学建模能力，学会将实际问题如何转化为数学模型的方法。活动设计是学生独立探究、小组讨论、代表实物展示。

通过学生的合作学习，师生归纳出：1. 船速与船实际航行速度的区别;2. 实际应用问题中，由实际问题——数学模型，解决数学问题——实际问题的处理方法。在这个环节，其实培养的是学生数学建模的核心素养。

总之，在这节课中，对数学核心素养的渗透无处不在，主要培养了三大素养，即逻辑推理素养、数学抽象素养和数学建模思想，这些素养对于学生学习之后的向量减法运算打下了良好的基础，也为后面的数量积的学习奠定了知识和能力的基础。

作者简介：

张海江，天津市，天津市南开中学滨海生态城学校。