感受策略，让数学教学更生活化

马铃儿　蒋守成

【教学目标】

1.让学生经历用一一列举的策略解决简单实际问题的过程，体验一一列举的关键就是通过有序列举，以及不遗漏、不重复的列举找到符合要求的所有答案。

2.让学生在对解决简单实际问题过程的反思和交流中，感受“一一列举”的价值，进一步发展思维的条理性和严密性。

3.让学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意識，并获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。

【教学重难点】

让学生感知列举的基本思考过程和方法，初步积累运用策略解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功体验。

【教学过程】

一、谈话导入

王大叔想买一些1米长的木条围一个长方形花圃，这根木条的单价是由2、3、4三个数字组成的两位小数。你能把想到的价格按从小到大的顺序来说一说吗？

师：为什么这位同学这么快就找到所有答案？他有什么窍门吗？

师：像这样将事物按一定顺序一一罗列出来，在数学上叫作一一列举，是解决问题常用的策略。今天我们就来研究一一列举。

二、教学案例

1.提出问题

（1）师：王大叔以每根3.24元的价格买了22根，王大叔打算用这22根1米长的木条围一个长方形花圃，我们来看看他遇到了什么样的问题？

生：怎样围面积最大。

师：根据题中的条件“用22根1米长的木条围一个长方形花圃”和“怎样围面积最大”，你能想到什么？

生1：周长是22米。

生2：长+宽=11米。

生3：可以围成大小不同的长方形。

师：其实根据22根1米长的木条，我们还可以想到长和宽都是整米数。

（2）师：你们准备怎样解决这个问题？

生：先求出长方形长和宽的和，再列举出长和宽求出的面积各是多少，选择面积最大的围法就可以了。

师：几位同学说的解决方案都有一定的道理。

2.探究方法

（1）提出开放问题：师：你能帮王大叔找出所有不同的围法吗？一起来看看我们的活动要求。请一位声音响亮的同学读一读我们的活动要求。

①想一想：有几种不同的围法？

②写一写：把你想到的方法写在表格中。

③算一算：哪一种围法面积最大？

④说一说：和你的同桌说一说你的想法。

师：要求明确了没有？请同学们把第一张作业纸上的表格填写完整。（学生独立操作）

（2）收集典型资源：①列举不全;②列举全但无序;③列举全有序（长从大到小的顺序）;④有重复的;⑤列举全有序（长从小到大的顺序）。

（3）资源结构呈现、交流序列展开。

第一层次，同步出现：①列举不全;②列举全但无序;③列举全有序

①号作业

长/米 10 8 7

宽/米 1 3 4

面积/平方米 10 24 28

②号作业

长/米 10 8 6 7 9

宽/米 1 3 5 4 2

面积/平方米 10 24 30 28 18

③号作业

长/米 10 9 8 7 6

宽/米 1 2 3 4 5

面积/平方米 10 18 24 28 30

师：老师发现你们列举的情况大致有这样几种，我们来看，这是一种情况，我们称为（1）号，以下两种我们依次称为（2）号、（3）号，请同学们依次来评价一下他们列举得怎么样，从（1）号开始。

生1：（1）号找得不全，少了，应该有5种。（若没有再说：有不同意见吗？还有别的评价吗？）

生2：（2）号同学找得有点乱，没有按顺序找。

生3：（3）号同学找得比较好，有顺序。

师：通过比较，我们发现：（1）号作业找得有遗漏，（2）号作业没有按顺序找，（3）号作业找得有顺序。看来有序思考是一种好的方法。

第二层次，同步出现：③列举全有序;和④有重复的

③号作业

长/米 10 9 8 7 6

宽/米 1 2 3 4 5

面积/平方米 10 18 24 28 30

④号作业

长/米 10 9 8 7 6 5

宽/米 1 2 3 4 5 6

面积/平方米 10 18 24 28 30 30

师：老师还找了这样一种作业情况，我们称之为（4）号，与（3）号比一比，你有什么想说的。

生：④号作业最后两种重复了。

师：最后两种是否重复呢？我们一起来看一个小实验。

出示：

（1）

（2）

师：第一个长方形的长是6，宽是5，第二个长方形的长是5，宽是6。[第二个长方形旋转90度，再与（1）图重合。]

师：同学们发现了什么？

生：这两种长方形是完全一样的。

师：是的，所以这位同学找得有重复。

师：请（3）号作业的xx同学说一说你是怎样列举的，好吗？

生：根据长加宽的和等于11米，长就从10米想起，相应的宽就是1米，然后长依次减1，宽依次加1，直到找到长是6米，宽是5米。（是这样想的同学举手）

（1）师：老师发现有许多同学也是这样列举的，你们是怎么想到长可以从10米找起的？

生：因为长加宽的和是11米，长最大就是10米，所以长应该从10米想起。

（2）师：如果先确定宽，要从几米开始列举？

生：因为宽是比较短的一条边，所以宽可以从1米想起。

师：是的，要做到有序列举，一定要有一个思考的方向，在这里，就是要想到，长从几米开始想起或宽从几米开始想起。

（3）师：按照这样的顺序，为什么找到长6米、宽5米就结束了，不接着往下找呢？

生：再往下找就重复了。

师：有顺序地找，当找到有重复时，就说明找全了。

第三层次，同步出现：③列举全有序（长从大到小的顺序）;⑤列举也全有序（长从小到大的顺序）;

③号作业

长/米 10 9 8 7 6

宽/米 1 2 3 4 5

面积/平方米 10 18 24 28 30

⑤号作业

长/米 6 7 8 9 10

宽/米 5 4 3 2 1

面积/平方米 30 28 24 18 10

师：这儿还有一种不同的列举情况，我们称之为（5）号作业，比较（4）号和（5）号，你觉得他们思考的方向有什么不同？（4号往下降，5号往上升，可引导4号的长是从10米开始找起。）

生：这里的长是从6米开始找起的。

师：有序列举一定要有一个思考的方向，在这儿长从6米开始想起，也是一种好方法。

（4）思维自主完善

师：跟前面的列举作业比较一下，（3）、（5）号作业好在哪里？

生1：有顺序，没有重复的。

生2：没有遗漏。

（板书）有序、不重复、不遗漏。

师：是的，列举时要做到有序思考，不重复，不遗漏。

师：接下来我们从长最长是10米开始找起，一起来一一列举，你们说老师填表。（学生说教师板书）

师：观察我们填写的表格，哪种围法面积最大？

生：长6米、宽5米的长方形。

3.发现规律

师：请同学们仔细观察这张表格里的数据，比较这些长方形的长、宽和面积，你有什么发现？

生1：长和宽相差越小，面积就越大。

生2：长和宽相差越大，面积就越小。

师：在这个变化中哪个量始终没有变呢？

生：周长没有变化。

师：按照这样说的顺序，谁能把刚才的发现完整地说一下。

课件出示：在（   ）情况下，长和宽（    ），面积（    ）。

生：周长一定，长和宽越接近，面积就越大;长和宽相差越大，面积就越小。

师：我们来验证一下这个规律。（课件演示围成的长方形面积变化情况。）

师：在周长一定的情况下，从前往后看，长和宽相差越小，面积越大;从后往前看，长和宽相差越大，面积越小。

师：看来有序列举不仅能帮助我们找到所求的答案，还能让我们发现一些隐藏的规律，真是一举两得。

4.回顾反思

（1）师：我们帮王大叔解决了问题“怎样围面积最大”，你有什么体会？

生1：有些实际问题可以通过列举来解决。

生2：有序列举，不重复，不遗漏。

生3：要对列举出的结果进行比较，做出选择。

师：刚才几位同学说得非常好。

（2）师：请同学们回忆一下，刚才我们是怎么解决这个问题的？

生1：先找到长方形长和宽的和是11。

师：那就是“分析数量关系”。

生2：再一一列举。

师：也就是运用解题策略。

生3：最后找到面积最大的围法。

师：找出问题答案。

师：刚才我们就是按照：分析数量关系——運用解题策略——找出问题答案这三个步骤解决了这个问题。（逐一板书）

三、巩固练习

练习1：长方形花圃建成了，王大叔准备坐公交车到城里去采购一些花木回来栽种。公交车每隔一段相等的时间就发出一班车，已经知道上午8：00、8：40、9：20和10：00发出四班车。

师：你了解了哪些信息？

师：假如王大叔15：10到了公交站，他最早什么时间能坐上下一班车？

生：（尝试解答后，并展示两种方法。）

师：这是××同学列举的，请你说一说你是怎样想的，好吗？（是这样列举的同学举手）

师：这是××同学列举的，请你说一说你是怎样想的，好吗？（是这样列举的同学举手）为什么可以从10：40开始写？

10：40 11：20 12：00 12：40 13：20 14：00 14：40 15：20

师：这两种方法你们更喜欢哪一种方法？

生1：我喜欢第二种方法，因为写得少。

生2：我也喜欢第二种方法，看上去更简洁，没有第一种复杂。我们做题就是要选择简洁的方法，才能提高我们做题的效率。

师：是的，我们要学会选择更简洁的方法来解决问题。

练习2：采购完花木就到了用餐时间，王大叔于是进入一家快餐店。

丽华快餐某天晚餐供应的荤菜有3种，素菜有4种，王大叔想选1种荤菜和1种素菜，一共有多少种不同的搭配？

师：一共有多少种不同的搭配？一看就是我们在四年级已经学习过的搭配规律，谁能口答出结果？并说一说你是怎么算出来的？

生：（直接口答。）

师：你能把这12种搭配方法一一列举出来吗，让别人一目了然？请大家完成第3张作业纸。

生独立作业，并收集三种列举方法，并同步出示：

方法一：文字记录

方法二：字母记录

方法三：连线

师：老师发现你们列举方法大致有以下三种，我们分别也称之为（1）号、（2）、号、（3）号。我们请这三位同学依次说一说是怎样想的，好吗？你最喜欢哪一种？

师：三种方法都是一一列举，正是应用了一一列举的策略，才使得12种搭配方法显得有序，不重复，不遗漏。

四、全课总结

1.师：通过今天这节课的学习，你有什么新的收获？

生1：我知道一一列举的策略可以解决一些实际问题。

生2：列举时要有序，不重复，不遗漏。

生3：我知道了解决这类问题的思考过程：分析数量关系—运用解题策略找到问题答案。

2.师：在以前的学习中，我们曾运用一一列举的策略解决过哪些问题？

师：同学们一下子想不起来，没关系，老师这儿收集了一些实例，我们一起来看一看。课件显示：一年级的时候学习过一组一组地写10的分成，三年级时有序地列举出周长是20厘米的长方形和正方形，今天学习了如何一一列举。今后的学习中也会遇到许多一一列举的问题，相信经过今天的学习，同学们一定能更灵活地运用。

机动：王大叔又遇到了新的问题，你能帮他解决吗？用一些木条围成面积是20平方米的长方形花圃，怎样围最省木料呢？留给同学们课后研究。

【总评】

马老师执教的“解决问题的策略”是苏教版教材独有的板块，这节课的内容是苏教版五年级上册的内容，它是在学生已经学会用列表和画图来解决问题，对这两种策略解决问题的价值已经有了体验和认识的基础上展开教学的。解决问题的策略不能直接从外部输入，只能在方法的实施过程中获得意识与感受。

教学中马老师将本节课分成四个板块：1.创设情境，导入新课;2.理解题意，形成思路;3. 尝试列举，感知策略;4.拓展应用，丰富体验。本节课始终围绕着王大叔买木条的情境，在列举时，考虑到学生的实际情况，在此环节中出示表格让学生独立操作。讨论交流时，主要分两个层次进行，首先出示：遗漏的、全无序的、全有序的三种典型性资源，之后出示全有序和重复的，让学生进行评价，在交流中让学生初步感受到列举要有序，不重复，不遗漏。其次出示：全有序（两种）。让学生说一说思考过程，帮助学生理解列举的思路，学习列举的方法，在找的过程中体会一一列举的价值。回顾反思时，首先让学生回顾解题的过程，谈一谈学习体会。由此明确，列举是解决这个问题的基本策略，列举时要按顺序思考，努力做到不重复、不遗漏，对列举的结果还要做进一步的比较，才能找到符合要求的答案。其次让学生回忆刚才是怎么解决这个问题的，总结出解决问题的思路：分析数量关系——运用解题策略——找出问题答案。对解决问题的回顾，能使列举的策略意义得以凸显，也有利于学生初步掌握列举的具体思考方法。

好的策略教学需要好的教學策略，策略的教学需长期渗透，逐渐丰富，形成策略。要教好“解决问题的策略”，必须把握四点：渗透性策略、过程性策略、融合性策略、整体性策略。

作者简介：

马铃儿，中小学二级教师，常州市蒋守成名师工作室成员，曾获金坛区小学数学评优课竞赛二等奖。

蒋守成，江苏省小学数学特级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，江苏省教科研先进个人，江苏省乡村骨干教师培育站主持人，常州市名师工作室优秀领衔人，常州市中青年专业技术拔尖人才，常州市教育领军人才，金坛市首届名教师，《小学生数学报》兼职编辑，常州市金坛区朝阳小学校长。多年来，他始终坚持站在儿童的立场去研究儿童，连续主持了省“九五”“十五”“十一五”“十二五”规划立项课题和重点资助课题，获江苏省基础教育成果一等奖，出版了1—6年级数学读本《走进你知道吗》，出版了主题思维丛书《图形王国》等四本，在研究中他提出了小学数学主题拓展教学的主张，《江苏教育》《生活教育》《学校管理》《江苏教育报》《小学教学设计》《江苏教育新时空》等媒体进行了研究成果的推广和专题报道，他应邀到上海、北京、浙江、山东、河南、河北、湖南、湖北、内蒙古等22个省市自治区上数学研究课、做专题报告。