数学建模思想与高等数学教学的融会贯通

陈羽，徐小红

一 前言

数学建模思想是简而言之就是运用数学去解决实际问题的一种思想。在数学建模过程中，需要从纷繁复杂的实际中提炼数学问题，用简练的数学语言和数学方法把实际问题抽象概括为数学模型，再通过分析、推理和数学计算求出此模型的解或近似解，然后再在实践中进行检验，根据实际情况修改模型，使之逐渐完善。

高等数学是大学本科的重要学科，但是由于其严谨性和理论抽象导致很多学生难以掌握，或者掌握的不够透彻，从而影响学习效果，这就需要引入一种应用性和实践性较强的教学方法。而数学建模的思想的目的就是利用数学去解决实际问题，具有很强的实践性。数学建模思想应与已有的课程教学内容有机结合起来，从而为大学数学教学改革提供一种全新的思路。如何在高等数学教学中融入建模的思想从而激发学生学习高等数学兴趣需要经过长期的探索。近来，任普强（1998）、巴娜（2017）研究了在工科高等数学中融入数学建模意识的教学方法。

二 数学建模思想与高等数学教学的融会贯通

将数学建模思想和方法融入到高等数学不同的教学环节，是培养学生的创新能力和应用能力的重要途径，也是适应社会发展的需要，这也是对传统高等数学教学模式进行改革的重要一环，为此，我们需要注意下面几点。

（一）教师自身素质培养

教师需要具备扎实的数学专业基础知识和完整的数学专业知识体系，这样才能正确地把握教材，理解教学内容，同时，还要与时俱进，接受新思想，挖掘新建模新案例。可以根据数学建模大赛的赛题持续关注高等 数学与其他专业课程的关系，关注数学知识在在学生专业知识结构中的地位和作用。所以作为高等数学教师应该广泛涉猎不同学科，准确掌握和发现专业课程里所涉及到是数学知识和数学思想，提升自身知识广度。通过把握不同学科和专业需要接洽的高等数学中知识点是哪些，重点是哪些，在教学中才能做到有的放矢。例如经济类的很多专业，与高等数学相关的课程比较多，需要用到函数的极限，函数求导，函数求积分，函数的极值这些知识点。而很多的经济学理论都是通过函数和方程描述的，因此在求解结论的时候一定会用到方程理论，而方程的基础就是常微分方程。金融学科中，如对股价的刻画，使用的是时间序列，一般用差分方程，而差分方程的很多理论和常微分方程是类似的，解法也一样，所以在介绍这些内容时要提醒学生，否则影响后续课程学习。

教师自身应该具备良好的数学应用意识去发现问题、分析问题、解决问题和评价的能力，从而在授课中有意识的培养学生数学思维的方式和解决实际问题的能力。

（二）数学建模思想和概念以及定理的融会贯通

高等数学很多概念和定理都非常抽象，而不少概念和定理的形成过程本身就蕴含了丰富的数学建模思想，在概念和定理讲解过程中，让学生了解概念和定理的产生的来龙去脉，可以从概念中提取相关的数学建模思想，学生将会更加容易理解从实际问题中抽象出数学概念和定理。高等数学由于课时有限，要求学生直接记忆大量定理和公式的这种传统教学策略很难深刻理解定理和公式的内涵，所以效果大打折扣。由于不少概念和定理都有一定的实际背景，经过抽象之后成为了概念和定理，所以我们可以结合数学建模的思想，把定理的条 件看作模型的假设，通过设置问题情境，由问题驱动学生探索定理的结论。如在讲解牛顿—莱布尼兹公式时，通过两种计算变速直线运动位移方法，引导学生发现定积分与被积函数、原函数之间的内在联系，然后通过引人变上限函数证明牛顿一莱布尼兹公式，让学生体验到探索、发现的过程，体会到数学建模过程，从而培养学生的创新意识和能力。

（三）数学建模思想和教学案例的融会贯通

高等数学教学中，除了将概念、定理和方法讲清楚之外，以问题驱动为导向，通过在课堂适当引入实际数学模型案例剖析有助于学生加深对概念、定理和方法的理解，同时激发他们数学的重要性的认识，进而提高学生解决实际问题的数学素养。如在学习闭区间连续函数的零点定理和介值定理时，学生知道其在高等数学中的使用，但是在实际日常生活中和定理相关的案例很少考虑。如在讲解完一元函数介值定理后，可以让学生思考如下的问题：（1）四条腿一样长的椅子能在不平的地面上放平吗？（2）给一张的边界形状任意的纸片，可以一刀剪为面积相等的两片？在此，我们针对第二问题给出详细的建模过程。

模型假设：纸片放在水平面上，纸片表面和平面 平行。

符号说明：A表示纸片的面积；α，β分别表示过原点与边界曲线相切的直线与x轴说的夹角；θ表示过原点穿过平面图形的一条直线与x轴的夹角；()sθ表示夹角α的直线、夹角为θ的直线和曲线所围成的平面图形的面积。

模型建立：将纸张的边界看成一任意形状的封闭曲线，边界曲线没有交叉点，需要证明在边界曲线存在一点，过该点存在一条直线将封闭曲线所围成的平面图形分成面积相等的两部分。

模型求解：建立坐标系如图，则面积函数s(θ )在闭区间[α,β]上连续，并且s(α)=0，s(β)=A，由介值定理，存在一点0θ，使得，即存在过原点的一条直线将边界曲线所围成的平面图形分成面积相等的两部分。

模型的结论：给一张的边界形状任意的纸片，可以一刀剪为面积相等的两片。

上述案例源于现实生活，通过这种案例，不仅可以加深对相关概念和理论的理解，而且可以激发学生的学 习兴趣。通过在教学过程中引入合适的案例，利用建模思想从抽象到具体，让学生感受这种严谨的思维方式和思考方法，最终用数学的方法去解决问题，加深了对所学数学知识的理解，达到培养了学生良好的数学素养的目的。

（四）数学建模思想和高等数学实验课程的融会 贯通

高等数学教学中，理论讲授与计算机实现结合紧密，实验环节以理论知识为基础，理论知识需要通过实验环节才能验证其准确性，并实现数值计算解决实际问题的目的。因此，需要对传统的重理论轻实践的教学模式进行适当的改革，而实验课是数学建模的重要组成部分，为取得更好的教学效果，对数学实验课的教学研究应该重视起来。同时数学实验课程也是是高等数学课程的有力补充，开展高等数学建模实验课程，提高学生“用数学”的综合能力。在实验教学过程汇总，每个实验结合相应章节中的基本概念和基本理论，分为实验目的、实验内容、思考题、知识要点和相关数学软件知识要点。具体而言，如：实验教学的内容可以根据高等数学的教学内容设置，以学生为主体，以老师为主导，而不只是把大部分的时间留给学生动手实践那么简单，在问题的驱动下，辅以计算机手段，借助常用的数学软件，在老师指导下，构建数学模型, 进行数学实验, 完成问题的定量分析的能力。数学实验课程极大的改变了传统教学模式的手段和方法，通过实例激发学生的兴趣和热情, 突出学生主动学习的地位，以此培养学生动手能力和数学创新能力。

三 小结

总之，在教学改革背景下，教师在组织高等数学教学活动的时，除了向学生传授基础知识之外，适当借助多样化的教学方式将数学建模思想方法引入教学活动中，使学生掌握解决数学问题的方法，为其灵活运用所学知识打下坚实的基础，并切实提高学生应用数学的意识和能力。