乘法模型及其对乘法概念形成的价值探析

陈新超

[摘 要]乘法概念是乘法计算与应用的基础。各版本教材在设置“乘法”教学内容时，都加入了丰富的乘法模型。不同特征的乘法模型，对教学到底有什么价值，如何开发这些价值，需要细细研究。搞清这些问题，教师就能精准把握教材，使教学活动有的放矢。

[关键词]乘法模型;概念形成;价值

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）02-0036-01

研究人教版教材发现，小学乘法内容涉及四大模型：（1）同类量合并模型;（2）倍率模型;（3）物品分配模型;（4）四边形面积模型。此外还有一些非典型模型，如计价模型、时速模型、几何倍增模型等。丰富的乘法模型，为教师研究乘法概念的形成提供了参考。

一、全面统计，教材中乘法模型各有侧重

统计各类乘法模型，发现有如下特点：

其一，乘法的不同模型出现频率不均衡。据权威统计，人教版教材中的乘法模型共计307个，其中“同类量合并模型”148个，占比48.2%，佐证了“同类量合并模型”为第一模型的观点。

在四种主要模型中，“物品分配模型”僅有12个，而提供物品分配模型的初衷，并不是介绍乘法的功能，而是为了渗透数学思想方法。可以说，真正意义上的“物品分配模型”数量为零，亟待补充完善。

在非典型模型中，商品计价模型、时速模型分别为10个和12个，工效模型只有3个，说明商品计价模型和时速模型为主要模型。

其二，各种乘法模型集中于中年段。二、三年级，乘法模型主要是加法和倍率模型。三年级下学期，学生接触了16个加法模型和17个四边形面积模型。到四年级，学生接触4个计价模型和6个时速模型。至此，基本完成了对整数乘法主要模型的积累。

五年级小数乘法意义的理解以丰富的乘法模型为依托，让学生在处理丰富的模型过程中，将整数乘法意义类比迁移到小数乘法意义上。如：

由上表可知，因为课程改革，小数乘法的意义不再细分为小数乘整数和小数乘小数，因此编者意图通过乘法模型的共融性（物品分配模型不适用于小数乘法）直接一次性建构小数乘法概念。

尽管六年级设计的乘法模型品类齐全，但是倍率模型数量暴增至52个，占比61.2%，反映出倍率模型成为传输乘法概念的主要载体。

二、形式多样，乘法模型让概念更加丰富

第一，巩固同类量合并模型的基础作用。相同数量连续相加是一切乘法模型的基础。学生最初认识乘法，是从“相同加数连续相加”开始的，无论是哪一章，只要涉及乘法，相同加数连续相加都是首选模型——将几个相同加数的和简写为乘法形式。另外，每一种新的乘法模型的出现，都是先将其转化成加法模型，如倍率模型：2的3倍需要构设出3个2相加;求长3米、宽2米的长方形面积的四边形面积模型，要将长方形划分成6个边长为1米的正方形，然后用“每行3个[×]2行=6个”来推演。

第二，乘法倍率模型的深入剖析。倍率模型是一种新型的乘法模型，应该引起高度重视。倍率问题一旦类推迁移到小数领域，受汉语言语法的影响，学生理解起来会很费劲。如理解“8的4倍”容易，就是用8[×]4来表示4个8连加，但是理解“用8[×14]来计算8的[14]倍”就很困难。因此，教师要对倍率模型的意义进行深入剖析。

第三，四边形面积模型的妙用。四边形面积模型很直观，可以作为理解同类量合并模型的素材，也可用来揭示分数乘法的算理。在初次接触乘法时，可结合图1和图2来说明。计算图1圆圈的数量就是用相同加数的连续加法，为“5个[×]3堆”，而转化为图2后，加法模型则转化为四边形面积模型，为“底5（5列）[×]高3（3层）=面积15平方（个）”。

综上，学生在学完全部的乘法模型后，教师要汇总梳理，使学生在深入掌握乘法后，摸透乘法的应用面，系统建构整数乘法，为小数乘法的学习打好基础。学生学完分数乘法后，还需进行二轮梳理，认识到物品分配模型不适用于分数，进而第二次构建乘法体系。

（责编 黄春香）