单位“1”与自然数“1”的异同辨析

张静

[摘 要]在构建分数概念时，为了便于学生理解，因而临时创建了中间概念单位“1”。单位“1”的引进确实让分数的概念更容易被接受，也更有说服力，但也带来了新问题，究竟何为单位“1”？单位“1”与自然数“1”有什么关系？教材未做详尽解释，学生即使翻遍参考书，也没有解开疑问。

[关键词]单位“1”;自然数“1”;度量

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）02-0091-01

学生认为把一些物体的集合视为一个整体，就是单位“1”，而整体中的最小个体，就是自然数“1”。换言之，需要平均分配时，被分配的对象就是单位“1”，计数时是自然数“1”。例如，把12瓶啤酒视为一个被平均分配的整体时，这12瓶啤酒就是单位“1”，其中每一瓶啤酒就用自然数“1”表示。

一、回溯数的概念

传统的解释看似详细，实则是没有科学地区分单位“1”与自然数“1”，只是用生活情境比喻，如每3个水蜜桃为一堆，有4堆，那么3个水蜜桃既可以构成整体单位“1”，又可以构成自然数“1”（4堆中的1堆），此时单位“1”和自然数“1”就没有差别。既然两者的意义接近，那么教学分数时，为何要说把单位“1”平均分成若干份，而不能说把自然数“1”平均分成若干份？很多人弄不明白单位“1”与自然数“1”的异同，也就無法正确认识分数的意义，自然理不清分数与整数的关系。

教学分数时，应怎样自然地从整数过渡到分数？如何将二者统一起来？这是教师在教学时需要考虑的问题。然而学生要树立正确的分数观，就要认清“何为单位‘1？何为自然数‘1？二者的关系是什么？”等问题。

二、从度量角度区分

人类因为度量、计量、测量的需要，发明了数，从这一本质出发，就能将整数和分数统一起来，统一起来后的整数和分数融为一体，学生便能自然投入分数的学习。因为度量要确立统一标准，即要规制度量单位，而这个度量单位就是单位“1”，又因为度量单位的制定具有随意性，所以单位“1”不一定是单个不可拆分的物体，它可以是一个群体或单件的物体。由于用单位“1”度量时，有时测得的次数或倍数为整数，此时结果正好用次数记录;有时测得的次数或倍数不为整数，这时就要重新测定剩余部分的大小，剩余部分不够一个单位“1”，于是只能寻求体量更小的度量单位来度量和计数。这种为剩余部分专设的新单位“1”，就是分数。

例如，将1米设为度量单位“1”，度量一根跳绳，测了5次后，还剩余一截短绳，怎样记录这根跳绳的全长？此时，只能将1米平均分成10份，取其中一份的长度（0.1米）作为新的较小度量单位，来测量剩余部分。假如对剩余绳长又量了4次再无剩余，重新度量的这4次就是全新的计数方式，记录为0.4米;加上前面的5次测量结果，跳绳的全长为5.4米。

又如，分装20枚硬币，每6枚硬币装一筒，能装几筒？题意是把6枚硬币看作一个度量单位来量（装），看能量（装）几次？我们知道20÷6=3（筒）……2（枚），即量3次（装3筒）后余2枚硬币。把剩余的2枚硬币以“筒”为单位度量，此时需要把原度量单位“1”（即6枚硬币）平均分成6份，用其中的1份（[16]筒即1枚硬币）重新度量剩下的2枚硬币，恰好度量2次。二次度量的2次换作原度量单位，记录为[26]次，也就是[26]筒，所以合并两次度量结果为3[26]筒。

由上述题目不难看出，分数实际上是用较小度量单位测得的数据折算成较大度量单位计数。故整数和分数可以互化互通。若是用较大度量单位测得的数据折算成较小度量单位，分数就变成整数。

三、此“1”时，彼“1”时

经上述分析可知，单位“1”与自然数“1”的异同有以下几点。（1）单位“1”是一个抽象的人为设定的标准，而自然数“1”是不可分割的最低度量次数。（2）单位“1”可以在度量前规定，而自然数“1”则是度量时实际发生的次数。（3）单位“1”是度量前的静态规划，而自然数“1”是在度量、数数时的动态生成。（4）单位“1”属于量，而自然数“1”属于数。（5）两者是客观与主观、单位与数字的关系，与整体或个体、等分或不等分没有必然联系。

总之，单位“1”是一个量，是可以分割为下一级单位的，而自然数“1”是一个数，是不可分割的。单位“1”与自然数“1”既有本质的区别，又有密不可分的联系。只要明确了单位“1”和自然数“1”的联系与区别，学习数的知识时就能顺利从整数过渡到分数，整数和分数就能有机统一了。

（责编 黄 露）