高观点，让数学教学更多元

王小波

[摘 要]小学数学课堂在高观点的引领下，摆脱了“只缘身在此山中”的禁锢。教师“居高临下”地看待问题，能直击数学知识的本质、丰富数学知识的内涵，帮助学生加强知识间的联系，建构完善的知识体系。

[关键词]高观点;课堂教学;多边形的内角和

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）08-0007-02

高观点下的数学知识应当是丰富而全面的，是深刻而通透的，是經纬交织而融会贯通的。高观点下的小学数学教学并不是让教师再回头去学习大学里的高等数学知识，用高等数学知识来解决小学数学问题，而是要求教师高屋建瓴地研究教材，探寻数学知识的本质，从学生长远发展的角度出发，把高观点的数学思想方法渗透在数学教学中，让学生在高观点的引导下真正成为课堂的主人。

一、广：多元表征，丰富知识的内涵

高观点下的数学课堂经常以兴趣小组的形式呈现，重视学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生通过自主探索、深入交流而得出结论。

【教学片段1】

师：请回忆我们是怎样研究三角形的内角和的。

师：拿出一张五边形的纸片，先想办法求出它的内角和，再在小组里交流。

生1（如图1）：我是把五边形每个角的度数测量出来再相加，结果是540°。但是经过讨论，我觉得这种方法有缺点，就是可能会有误差。

生2（如图2）：我尝试了“撕拼法”，发现3个角拼在一起就已经很接近一个周角了，还多出两个角不懂怎么拼好。

生3：我试了折叠法也不行。

生4（如图3）：这些方法都不太方便。我把五边形分成了3个三角形，把3个三角形的内角和相加就是五边形的内角和，即3×180°=540°。

师：想一想，他为什么要把五边形分成三角形呢？

生5：为了把未知的问题转化成已知的知识。

师：把未知转化成已知，这是一种很好的学习策略。但是3个三角形一共有9个角呀，五边形不是有5个角吗？这9个角和那5个角一样吗？

生4：那是因为三角形的一些角拼在一起就是五边形的角，3个三角形的角合起来就是五边形的5个角。

师：看来，这个“分”很重要。谁能说说生4是怎么分的？

生6：从顶点来分的。

生7：我们小组讨论时发现，可以从五边形的中心找一点来把五边形分成5个三角形。

生8：你们这样处理还有一些多余的角。

生9：多余的角正好是一个周角——360°。

生7：是的，用5×180°-360°，结果也是540°。

（学生恍然大悟）

生10：那么，从五边形边上任意一点来分行不行呢？

师：为你的爱思考点赞！

生10（尝试后）：这样分也会产生多余的角，这些多余的角正好是一个平角——180°，则180°×4-180°=540°。

对于求多边形的内角和是将其转化成三角形的方法，教材中只有从顶点出发来分这一种，而对于学生来说，既然要把五边形分成三角形，方法肯定是多种多样的，教师应当给予学生足够的空间，让学生去研究和思考。如果只是满足于教材，没有高观点的指引，学生得出探究的方法定然是片面的。只有激发学生尽情地去表达、去思考、去研究，久而久之，才能拓宽学生的思路，发散学生的思维。

二、透：追源溯流，探寻知识的本源

数学知识的学习，不仅讲求“知其然”，还应“知其所以然”。高观点下的数学是要抓住问题的本质，并将其加以延伸，促使学生深入探究知识背后的道理。

【教学片段2】

师：我们研究出了多边形内角和的公式是（边数-2）×180°，这里的“边数-2”是怎么来的呢？

生1：就是减去2条相邻的边。

生2：为什么要减去相邻的边呢？

师（出示图4）：问得好！以五边形为例，从顶点出发，就是要看分成了几个三角形。5个顶点，需去掉与出发顶点相邻的两个顶点，从出发顶点向剩余的顶点（相对顶点）连线，分割线的条数总比分成的三角形的个数少1，因此多边形的内角和就是（边数-3+1）×180°。

学生对公式中“边数-2”是有疑问的，但也容易满足于“就是减去相邻2条边”的解释而不加深究，实际上，边数和分成三角形的个数之间没有直接的联系，需要架上一座联系二者的桥梁——分割线的条数，根据这三者之间的关系，推演出多边形内角和的公式，这恰恰就是在用高观点来推演和证明：看似高高在上，实际上就是拨开了云雾，露出了知识的本源，加深了学生对这一知识的理解和认识。

学生对于数学公式的认识，不能只停留在背诵、记忆和运用上，应该追根溯源，找到问题背后蕴含的道理，让问题的研究更加深刻和通透。数学课堂应该是“讲道理”的课堂，数学道理就是数学知识的本质。如果只是把知识灌输给学生，而不去考虑学生在想什么、有什么困惑，那么学生会逐渐失去“讲道理”的欲望，也会离知识的本质越来越远。

三、融：深入浅出，完善知识的体系

基于高观点的数学课堂，还需要对知识进行梳理、统整，把散落的知识点加以串联，帮助学生构建一个完整的知识体系。

【教学片段3】

师：这三种方法对应了三个求多边形内角和的公式——（边数-2）×180°，边数×180°-360°，（边数-1）×180°-180°。想一想，这三个公式之间有联系吗？

生1：如果用乘法分配律对它们进行转化，三个公式其实就是一回事！

师（出示图5）：把这三个公式放在图中帮助理解，五边形内的这个点是可以在五边形内的任意位置，此时，内角和公式是“边数×180°-360°”。我们让这个点“动起来”，当它移动到五边形的边上时，就会少分割一个三角形，此时，内角和公式是“（边数-1）×180°-180°”。这个点移动到五边形顶点时，就会又少分割1个三角形，此时，分割成的三角形的个数是最少的，内角和公式是“（边数-2）×180°”。

知识之间是有联系的，用移动的小点来帮助学生进行“极限”思考，能使学生隐隐感觉到这是一个“从一般到特殊”的过程，再用乘法分配律把三个公式进行串联，学生会在不知不觉中对这三个公式进行对比，进而形成完整的知识体系和结构。高观点引领下的数学课堂正是要这般居高临下而又深入浅出，才能使得学生的学习不是像“拾麦穗”，只是汲取星星点点的知识，而是像“滚雪球”，把知识不仅越滚越多，还越滚越实。高观点下的数学课堂需要花费大量的时间和空间让学生去讨论，去探究知识背后的道理，去建立知识之间的联系……但这样的付出是有价值的，也许短时间不一定看到它的成效，但它是隐藏着的宝藏，即使深埋心底，等到绽放时也一定无比绚丽夺目。

（责编金 铃）