品真题，促提升——二轮复习中两道相似高考题的解答探索历程

广东 林国红

“年年岁岁花相似，岁岁年年题不同”.每年都有不少的优质高考试题，这些试题都是命题专家精心设计的杰作，凝聚了命题专家的集体智慧，具有权威性、示范性与借鉴性，值得我们去品味.要充分认识高考题所蕴含的价值，挖掘高考题的多种功能，发挥其内在作用，并以此来促进教学，活跃学生思维，提高教学功能与复习的效率.

笔者在今年二轮复习中，把2018年的一些高考题引入到复习过程中，起到了良好的复习效果.其中在抛物线的复习专题中，两道相似高考题引发了学生思考，经过相互交流讨论，最终在师生的探讨中解决了问题，并使学生的思维方向得到了升华.对此复习课的过程，笔者记忆犹新，特意成文，与大家分享，希望能够抛砖引玉.

一、题目1的解答与分析

题目1.(2018·全国卷Ⅲ·理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°，则k=________.

解法一：因为直线AB经过抛物线焦点，且斜率为k，显然k≠0，并易得抛物线的焦点为F(1,0)，设直线AB的方程为x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

由韦达定理，有y1+y2=4t，y1y2=-4，

=(t2+1)y1y2+(2t-1)(y1+y2)+5

=4t2-4t+1

=(2t-1)2=0，

点评：本解法是利用韦达定理进行整体代换，这是解析几何中最常用的方法之一.直线方程有多种设法，依题意为了计算方便而定，对于∠AMB=90°，可用向量的数量积，也可以用斜率之积来转化计算.从反馈来看，多数学生是采用了此法解答，说明在复习时应该立足基础，强化通性通法.

解法二：如图，设AB的中点为E，过点A,B,E分别作准线l:x=-1的垂线，垂足分别为A1,B1,H.设A(x1,y1),B(x2,y2)，E(xE,yE).

由梯形的中位线定理与抛物线的定义可得，

同时点M(-1,1)在抛物线的准线l:x=-1上，所以有|ME|≥|HE|.

解法二是一个成绩比较好的学生在评讲完解法一后提出的，并指出该解法是基于抛物线中的一个常见的结论：如图，设AB是过抛物线C的焦点F的弦，则以线段AB为直径的圆必与抛物线C的准线相切.相对于解法一，解法二更简洁，运算简单，当然也更巧妙，只有少数同学想到此方法，在评讲完后，多数学生也能理解此法.

点评：①解法二的思路来源是人教A版选修2-1第81页“复习参考题”B组第7题.这再次提醒我们：高考试题有“源于教材，高于教材”的特点，但万变不离其宗，“宗”就是教材.教材中的例题习题是经过编者精心设计的，具有典型性的范例作用，大多都蕴含着深刻的背景、丰富的数学思想，所以高三的复习应立足于教材，对教材中有潜在本质规律的材料、例题、习题进行归纳、类比、拓展，充分挖掘，将其价值发挥出来，从而实现教材教学功能的最大化、最优化.

②解析几何问题的本质是几何问题，它们本身就包含一些重要的几何性质，如果我们可以充分利用这些几何性质，往往可以避开烦琐的代数运算，使解决问题的过程得到简化，而且解法简洁优美，更好地揭示这些问题的几何本质.因此对于解析几何问题，要紧扣其中关键几何要素，将解析法与平面几何方法相结合，从而得到解决问题的最优解法.

二、题目2的解答与分析

题目2.(2018·全国卷Ⅱ·理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；

(Ⅱ)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

解：(Ⅰ)设直线l的方程为x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

由韦达定理，有y1+y2=4t，y1y2=-4，

根据抛物线定义，|AB|=x1+x2+2=t(y1+y2)+4=4t2+4=8，解得t=±1，又因k>0，所以t=1，从而直线l的方程为x-y-1=0.

点评：很多高考题是教材例题、习题的组合、加工、引申、拓展和类比，这充分体现教材是高考试题之根，问题(Ⅰ)的背景来源于人教A版选修2-1第69页例4.直线l的方程求法与题目1的解法一是一致的，也就是考查抛物线焦点弦的相关基础知识，这充分说明在复习时要抓基础，突出知识主干，紧扣高频考点.

由题目1的解法二，易知，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切.

于是，所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.

由于在题目1中刚讲解完毕：以抛物线焦点弦AB为直径的圆必与其准线相切.多数同学已对这一个结论谙熟于心，所以很快得到上述解法，同时感叹这个结论对解题有很大的便利.

鉴于学生对上述解法没有质疑，笔者进行第一次引导：这是一道解析几何大题，如此简单就解决了，会不会有陷阱？经提示，多数学生仍坚持解法正确，一部分学生认为有问题，但说不出为什么.双方坚持不下.于是进行第二次引导：以抛物线焦点弦AB为直径的圆必与其准线相切.反之，过点A,B且与抛物线的准线相切的圆是否一定以AB为直径？这引发学生的激烈讨论，并翻教材选修2-1进行探求，经过一番交流，形成初步共识：过点A,B且与抛物线的准线相切的圆不一定以AB为直径.那么，如何解答问题(Ⅱ)呢？学生陷入思考，思路受阻.笔者又进行第三次引导：利用数学软件，作出符合题意的圆，有图有真相！从图中思考.结合图形，多数学生能由圆与弦AB，联想到在圆中最常见的垂径定理，顺利得到了以下正确的解法.

于是直线AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.

因此，所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

点评：由于学生没有认真分析，看着题目相似就直接套用同样的结论进行解答，导致出现错误.这深刻提醒学生，应用定理、结论解题时一定要看清结论与定理适用的条件，不能乱用、错用.

三、深化思维，类比拓展

在比较分析完两道考题，总结解法后，又有学生提出，以抛物线的焦点弦为直径的圆必与其准线相切.而抛物线、椭圆与双曲线同为圆锥曲线，那么椭圆与双曲线会不会也有类似的性质呢？

这是一个非常好的问题，说明学生会思考，会类比联想，数学思维得到了提升.于是师生又展开探究，参照题目1的解法二，得到了椭圆与双曲线的相应结论，并有统一的证法.下面以椭圆为例给出证法.

证明：如图，设椭圆的焦点为F，对应的准线为l，椭圆的离心率为e，过焦点的弦为AB，分别过点A,B作准线l的垂线，垂足为C,D.再设点A到准线l的距离为d1，点B到准线l的距离为d2.

因为0

由上述证明，易知：①当e=1，即当圆锥曲线是抛物线时，r=d，所以圆P与准线l相切；②当e>1，即当圆锥曲线是双曲线时，r>d，所以圆P与准线l相交.

点评：圆锥曲线一般有着类似的性质，对某种圆锥曲线的性质进行类比与拓展，让学生感受圆锥曲线性质中内在统一的和谐美，体验数学研究的过程，能培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力.

四、小结反思

两道相似的高考题通过师生的探索，其中经历求解，类比，存疑，析疑，交流讨论并寻求正确解答，再类比提升的过程，最终较为圆满地解决了问题.整节课题量虽少，但内容充实，对抛物线的重点题型进行分析，突出专题复习的针对性.学生对于抛物线中的通性通法、常用结论、数形结合、转化与类比思想等方面有了较深刻的认识，课堂复习效果很好.

高考题在命题角度、题量、题型、难度等方面都进行了充分考量和精心设计，是最好的检验题.因此，在高三的复习阶段，师生要多“品真题”，通过对高考真题的研究与练习，充分挖掘做题过程中反映出的知识点掌握方面的缺漏，对学习大有裨益.在做题过程中不断总结和体会，理解命题专家的思路，知道他们是怎样设置“陷阱”的.所选择的历年高考题要有典型性，要能辐射到多种思想方法，或能起到构建知识框架的作用，或能揭示一般性的解题策略等等，并且要注意对高考题进行适当的发散研究，达到深化认识，举一反三的目的，从而达到教学效果的最大化.