对数学抽象核心素养的解读

湖北 王卫华 洪 程

数学抽象是数学的基本思想，是其他学科素养的基础，是形成理性思维的重要基础.随着新课改的大力推进，人们的教育观念从只注重成绩逐步转向关注学生核心素养的养成，国民核心素养的培育毫无疑问是极其重要的课题，对高中生而言，数学核心素养是绕不开的话题，而数学抽象是排在所有数学核心素养之首，是其他数学核心素养的基础，正如史宁中教授所说：数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也是抽象.我们教学的最终目的也是培养学生初步的抽象思维，即逻辑思维能力，从问题情境到概念的升华、从具体计算题抽象出计算法则、从具体应用题抽象出常见的数学模型等,无一不是抽象的过程.数学的抽象决定了数学可以培养学习者的抽象能力，也决定了学习者必须具有一定的抽象能力.那么我们如何理解数学抽象呢？

一、数学抽象的定义

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养.

从数学抽象的内涵看，数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学符号或者数学术语予以表征.注意这里舍去的“物理属性”不是物理科学和物理理论，而是现实的物体的特殊性质.舍去的是它们的不同点，而得到的是它们的共同点，其中关于数量关系和空间形式的共同点就是数学研究对象——数学抽象.另外某些共同点是物理或者其他科学的研究对象，就是物理学或其他科学的抽象.

从数学抽象的学科价值看，数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.它具有把具体问题用简洁的数学语言符号表示、用一般的方法来解决复杂的数学文字、变表面无关的东西为奇妙的数学结构和体系的作用.“抽象”一词几乎成为了数学的代名词，数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.

从数学抽象的教育价值看，通过数学抽象核心素养的培养，经历从具体到抽象的过程，能够感悟数学概念、命题、方法和体系的形成；能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯；能够在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题.

二、数学抽象的特点

1.数学抽象具有抽象性

数学是一门研究度量、形式、图形和变化的学科，虽说它的研究对象脱不开现实原型，但可以绕开具体内容，理性地抽象出思维结果；另外我们可以用公理化的方法统一数学研究的各个领域.比方说，我们从海水潮汐变化、工厂投入与产出的利润、斜抛运动等问题中抽象出函数概念，并研究得出它的各种性质，自此就可以借助函数的思想统一协调高中代数的主体内容，融合各数学分支形成一个整体，大大提升了学生的数学抽象能力.由此可见，在教学中如果我们运用恰当的教学方式，定会培养出学生在学习中的数学抽象能力.

2.数学抽象具有合理性与可操作性

数学抽象的合理性表现为重点抽取对象的数量关系或空间形式，同时还表现为相对的确定性.以概率为例，我们从实际问题中抽象出各概率特点，如根据对象是离散的还是连续的，将概率划分为古典概率与几何概率等概率模型，分别得出相应求解策略，这些结论相互补充正好构成了系统且完备的知识体系，有利于学生的理解与掌握.我们运用公理化的思想，借助合理性的数学抽象可以建立起各种数学符号体系，并借这个科学思维的智力工具，通过某些可操作的教学行为，使得学生有效地建立起形式化、统一化且具有联系性、整体性的数学知识和思想方法体系，并在解决问题的过程中不断巩固、完善和发展这一体系.这样加以规划、设计和培养数学抽象能力，可以使学生的数学学习形成良性循环.

3.数学抽象具有层次性与可接受性

数学抽象由于抽象的对象(概念、模型、理论体系等)和过程的不同，数学抽象的发展体现出不同的层次性，正如概念的内涵与外延关系一样，越抽象概括性越强、应用性越广泛，反映人们抽象思维水平也就越高，但与之俱来的是学生接受知识的困难大大增加.如函数的概念，初中给出的定义是以现实问题中的例子为依托、利用文字叙述给出来的，初中“变量说”的函数定义抽象程度相对较低，对于刚接受从常量学习转向变量学习的初中生而言具有可接受性.但这种非形式化的定义具有很大的局限性，不能进一步深化函数的意义和仔细描述函数性质，因而高中教材采用了抽象程度更高的“映射说”，通过引进函数符号f(x)，使得函数的众多性质可以通过形式化加以定义和证明.诚然，随着年龄的增长，高中生已具备了一定的数学抽象能力，但是，面对由“非形式化”向“形式化”的飞跃，倘若我们在教学中不能处理好两者的有机结合，那么学生会难以理解函数思想，自主运用函数观点解决问题更是无从谈起.可见，教师的有效教学调控、耐心引导，并训练学生逐步从初级的经验水平转向高级的科学水平的抽象，对学生形成数学抽象这一核心素养具有极其重要的作用.

三、数学抽象水平的质量标准

新课标每个数学核心素养水平都是从情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思这四个方面来阐述，并且每一个数学核心素养均划分为三个水平，数学抽象的三个水平，也是从上述四个方面来说明的：

水平素养数学抽象水平一 能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则;能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题;能够模仿学过的数学方法解决简单问题.能够解释数学概念和规则的含义;了解数学命题的条件与结论;能够在熟悉的情境中抽象出数学问题.能够了解用数学语言表达的推理和论证;能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想.在交流的过程中,结合实际情境解释相关的抽象概念.水平二 能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则;能够将已知数学命题推广到更一般的情形;能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则;理解数学命题的条件与结论;能够理解和构建相关数学知识之间的联系.能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证;能够提炼出解决一类问题的数学方法,理解其中的数学思想.在交流的过程中,能够用一般的概念解释具体现象.水平三 能够在综合的情境中抽象出数学问题,并用恰当的数学语言予以表达;能够在得到的数学结论基础上形成新命题;能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题.能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构;能够理解数学结论的一般性;能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系.在现实问题中,能够把握研究对象的数学特征,并用准确的数学语言予以表达;能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想.在交流的过程中,能够用数学原理解释自然现象和社会现象.

水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中数学学业水平考试的命题依据；水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考.

四、高中阶段数学抽象的基础载体

通过解读数学核心素养可以看出，能力的培育必须要有相应的知识土壤，所以必须明确相应的素养知识与相应的能力载体，这是提升数学核心素养的前提.高中阶段数学抽象的基础载体主要体现在以下几个方面：集合、函数的概念与性质、三角函数、立体几何初步、概率、导数及其应用、空间向量与立体几何、平面解析几何.

五、数学抽象与其他数学核心素养的关系

最新的《普通高中数学课程标准(实验)》明确指出：数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的，是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养有六个：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.这些数学核心素养各具独立性，又相互补充、相互交融、相互促进，形成一个有机整体，在不同情境中整体发挥作用.其中前三个素养是数学基本思想，是核心素养中最重要的数学思维品质，后三个素养是传统的学习数学的关键能力和方法.数学抽象是数学的基本思想，位于六大学科素养之首，是其他学科素养的基础，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.

六、数学抽象的具体表现

数学以数量关系和空间形式为主要研究对象，而数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，我们教学的终极目标恰恰是培养学生具有初步的抽象思维，而不是让学生的思维水平停留在形象直观阶段，我们每次学习的升华无一不是抽象的过程.数学抽象的具体表现有以下几个方面：形成数学概念和规则、形成数学命题和模型、形成数学方法与思想、形成数学结构与体系.

案例1：《几何概型》的引入(形成数学概念和规则)

问题1：抛掷一枚骰子，随机地抛出一个整数，求这个整数不大于4的概率.(素材起点低、入口宽，易了解学生初步掌握古典概型的情况).

问题2：从区间[1，6]内的所有实数中，随机地取出一个实数，求这个实数不大于4的概率.(问题2会引发学生认知冲突，直指几何概型的核心与本质，引发新知的生长点)

问题3：从区间[1，6]内的所有实数中，随机地取出两个实数，求这两个实数的和不大于4的概率.

问题4：半径为2的小球在边长为6的正方体内漂移，求小球与正方体表面相切的概率.

后两个问题在空间与思维上对问题2进行了延伸，既联系了实际，又激发了学生的学习兴趣，让学生在学习了古典概型的基础上可以类比地尝试解决每个问题，但有难度，关键的突破口在于如何实现由有限向无限的转换，可以补充提问：实验中的基本事件是什么？是等可能的吗？事件A包含的基本事件有多少？能否用古典概型的公式来解决？

这几个问题让学生从长度、面积、体积等三个角度体会到几何图形测量的多样性，为学习几何概型的概念做了很好的铺垫，并让学生从下面几个方面进行探究：

几何概型与古典概型有何异同？如何将古典概型中的“有限”上升到几何概型中的“无限”？如何求几何概型的概率？

通过不同问题不同角度的探究，有利于深刻理解几何概型概率计算公式中的不同几何图形的维度，让学生积极融知识于情景中，发挥学生的主体作用.这样的设计会大大激发学生抽象思维的发展，对数学抽象等素养的提升起到了积极的促进作用.

案例2：利用函数模型培育数学抽象能力(形成数学命题和模型)

问题5：已知f(x)=3x，求证：f(x)·f(y)=f(x+y).(必修一P82).

问题6：试着举几个满足“对定义域内任意实数a,b，都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函数例子，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？(必修一P75).

问题7：类比问题6满足(1)“对定义域内任意实数a,b都有f(a)+f(b)=f(a+b)”的函数例子；(2)“对定义域内任意实数a,b，都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函数例子；(必修一P75)(3)“对定义域内任意实数a,b，都有f(a)·f(b)=f(a·b) ”的函数例子.你能说出这些函数具有哪些共同性质呢？

问题5是给出了具体的函数表达式，要求我们利用指数幂运算的特点去解决问题，讲解时笔者提醒学生底数3能否换成其他的数，能否换成字母，问题能否倒过来考虑？

然后再将问题5与问题6与7放在一起，让学生分组讨论，然后得出结论，很好地培养了学生从直观到数学抽象的能力，实际上函数章节中抽象能力的聚焦必须要有一定典型的、相关的函数模型作为载体，加强重要函数模型中相关问题的理解和运用，是提高其抽象能力的一个重要环节，特别是我们在处理课本习题时如果就题论题，是不能培养学生核心素养的.

案例3：多题一解(形成数学方法与思想)

在教学中我们常常采用多题一解的教学策略，其目的就是要引导学生学会从不同的问题中分析归纳并抽象出它们共同的特征的过程，抽象出解题的一般规律，从而达到举一反三、触类旁通之效，这样能减少学生的机械记忆，克服题海战术，有助于提高学生抽象思维能力和综合能力.

问题8：求方程x+y+z=10共有多少组正整数解？

问题9：把10个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，问有多少种不同的装法.

问题10：马路上有10只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？

问题11：已知两个实数集合A={a1,a2,…,a10}与B={b1,b2,b3}，若从A到B的映射f使得B中每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a10)，则这样的映射共有多少个？

笔者记得当时讲解问题8时,尽管考虑了解题过程，也没有听说学生不理解，但在不久之后的三次测验中我们考了问题9、问题10和问题11，效果均不理想，明明这三题的思路和问题8是一样的，为什么会出现这种情况呢？笔者通过与学生沟通得到的答案是：方法听得明白，但是一变换语境就想不到如何求解.原来如此！这种处理方式不就是题海战术的翻版吗？这充分说明笔者讲课时只想到将课讲清楚，没有考虑到学生的想法，所以现在讲课时会调整教学策略，将这些题目在一段时间内呈现给学生，引导学生比较问题8至问题11，让学生明白它们在本质上完全一样，都可以看成将几个相同的元素被隔开有几种方法，引导学生得出隔板法的思想，让学生充分体会同一数学思想与方法在不同背景下的各种体现，笔者发现这样的处理加深了学生对数学思想和方法的理解，极大地促进了数学素养与能力的提高，真正让学生达到了“谈题论法”的新高度，真正实现从量变到质变的飞跃.

案例4：《数列》章节复习(形成数学结构与体系)

我们在学习完每一章都要总结，形成数学结构与相应的知识体系，这实际上就是数学抽象，通过抽象概括的过程，认识与掌握所要研究的对象.如学完《数列》，我们可以抽象形成这样的知识体系：

也可以在大脑里抽象出这样的知识脉络：数列的概念(数列的定义、通项公式的定义、数列的函数特征与图象表示、数列的分类、数列单调性的证明、递推公式定义)；等差数列的相关知识(等差数列的定义、等差数列的通项公式、等差中项的概念、等差数列的性质、等差数列前n项和公式及其应用)；等比数列的相关知识(等比数列的概念、等比数列的通项公式、等比中项的概念、等比数列的性质、等比数列前n项和公式及其应用)；证明等差与等比数列的方法；数列求和的方法；通项公式的求法；数列与其他知识的交汇；常见数列的思想方法；数列高考题的命题走向与课标要求.