逻辑推理核心素养视角下的概念教学——以“任意角的三角函数”的教学设计为例

湖北 陶德军

一、问题背景

数学逻辑推理是国内外数学教育界持久的研究热点，中国已经取得不少相关研究成果，但其内涵的界定没有得到统一.数学上的逻辑指的是思维的规律和规则，是对思维过程的抽象.逻辑推理属于思维的基本形式之一，从一些事实和命题出发，对数学对象进行逻辑性思考，进而推出一个命题的思维过程.逻辑对象是表示数量关系和空间形式的数学符号；数学推理的依据主要来自问题所在的数学系统；逻辑性思考方法有观察、实验、联想、猜测、直观、归纳、类比、推广、限定、抽象、矫正、调控、演绎等科学发现、论证手段；数学逻辑推理是环环相扣，连贯进行的符合逻辑的过程.在教学中提升学生逻辑推理核心素养，尤其是以“数与代数”为抓手的相关文献并不多.笔者以2018年12月宜昌市县域示范高中联合体“同课异构”的优质竞赛课一等奖 “任意角的三角函数”的教学设计为例，来谈谈逻辑推理核心素养视角下的概念教学.

二、教学设计

1.数学史(视频)引入，再现数学逻辑推理在科学发现中的贡献

情境1：三角学之父喜帕恰斯(古希腊天文学家)为定量解决天体位置引入球面三角，此时的正弦是圆弧所对弦的弦长，这时的三角主要是满足天文学计算的需要.德国数学家雷格蒙塔努斯1464年完成的《论各种三角形》，提出了求三角形边长的代数解法，讨论了球面三角的正余弦定理，是三角学从天文学中独立出来的标志，这是几何的三角.哥白尼学生雷蒂库斯的《三角形准则》(1551年)首次给出了六种三角函数表，重新定义了三角函数，即为三角形的边与边的比，并指出此比与角度有关，不过仅限于锐角三角函数，目的在于解三角形和三角计算，这是代数的三角.18世纪，欧拉建立了三角函数的严格解析理论，正弦不再是线段，而是数值，三角函数不再单纯解决三角形边角关系，而是研究周期变化最有表现力的函数，这是解析的三角.

【设计意图】让学生了解三角函数发展史，感受概念形成的曲折经历、感知需要培养的核心素养，渗透数学文化.

2.复习旧知，构建逻辑思维起点

情境2：初中锐角三角函数是如何定义的？

【设计意图】任意角三角函数定义的生成以初中锐角三角函数的定义为探究起点.

3.由形到数，类比推理，演绎论证，实现三角函数定义解析化

情境3：为了讨论问题方便，怎样将Rt△OMP中∠POM放入直角坐标系？如何表示锐角α终边上点P的坐标？

顶点O与原点重合，角的始边OM与x轴的非负半轴重合，PM⊥x轴于点M，点P坐标为(a,b).

情境4：你能用直角坐标系中角α终边上点P的坐标来表示锐角α的三角函数吗？

情境5：改变角α终边上点P位置，锐角α的三角函数改变吗？能说明理由吗？

教师让学生想象思考，作出主观判断，教师再用几何画板演示，当点P改变位置时，讨论点P坐标的变化及对应三角函数值.结论：当角α确定时，α的三角函数不随点P位置改变而变化.

教师引导学生看图，点P改变时，得到的两个三角形相似，比值不变.

情境6：锐角α变化时，比值改变吗？比值是角的函数吗？

教师让学生想象思考，作出判断，教师再用几何画板演示，同时作出解释.

结论：当α为锐角时，三个比值会随着α的变化而变化；当α确定时，三个比值是确定的.因此三个比值是以α为自变量，以比值为函数值的函数.

【设计意图】角是几何图形，将角放入坐标系，通过终边上点的坐标，搭建由形到数的桥梁.PM⊥x轴于点M，构造情境2中的Rt△OMP，将坐标系中锐角三角函数的表示化为初中直角三角形中锐角三角函数的表示，类比实现了定义解析化.通过情境5与6，比值随角的改变而改变，角定则比值唯一，解释了锐角三角函数表示的合理性.

4.类比、归纳，实现三角函数定义任意化

情境7：能将锐角三角函数的比值情形推广到任意角α吗？

追问：当α变化时，正弦、余弦、正切对应比值变化吗？

让学生思考，作出判断，再用几何画板演示.结论是各比值随α变化而变化.

再引导学生利用相似三角形知识，探索发现：对于α的每一个确定值，比值不变.再用几何画板演示.

【设计意图】从锐角三角函数类比到任意角的两类8种情况，再归纳共性，得到任意角三角函数定义.

5.通过限定r得第二定义

情境8：以原点为圆心，单位长度为半径的圆叫单位圆.当点P为单位圆与终边交点时，上面定义对应结果是什么？

【设计意图】限定r引入第二定义，是为了后续三角函数定义几何化，引入三角函数线，为画三角函数图象作准备.

6.观察定义的符号表达式，探究概念的外延

情境9：请同学完成下表.

函数sinαcosαtanα定义域

【设计意图】让学生探究三角函数定义的适用范围.

7.调控思路、矫正方向，应用概念解决实际问题

在解题过程中学生只知道画出角的终边，在终边上取点P，但不知道所取点P的坐标怎么求，此时教师要引导学生，在坐标系中常见辅助线是过点P向x轴作垂线，垂足设为M，得Rt△OMP.

追问：在Rt△OMP中已知什么？取|OP|=2，则两条直角边边长是多少？点P的坐标是多少？

【设计意图】取点→作垂线→构造直角三角形→解直角三角形→表示点的坐标→求三种三角函数值，这是用定义法求三角函数的基本程序.

8.反思小结，提升逻辑推理核心素养

情境11：请同学们对本节课内容进行小结.

【设计意图】数学史引入(感受逻辑推理在科学探究中的作用)→复习三角形中三角函数定义(从形出发)→坐标系中锐角三角函数定义(类比实现代数化、解析化、符号化)→任意角三角函数定义(类比、归纳推广实现一般化、探究内涵)→定义域(观察探究应用范围、外延)→特殊角三角函数值求解(矫正、调控思路实现应用程序化)，让学生重温概念的生成、应用，提升核心素养.

三、赛后议课

1.通过数学史引入概念，再现概念生成的轨迹.概念内涵的界定得到统一，要经过很长时间，甚至几个世纪，通过数学史引入概念培养学生逻辑推理核心素养不仅可行，而且是一个重要的抓手.本案例用视频介绍了三角函数定义形成的悠久历史，从天文学中的球面三角→几何的三角(从天文学独立出来)→代数的三角→解析的三角，即从实际问题抽象出数学问题→直角三角形中直观的边长比(形)→给出三角函数表(由形到数)→严格的解析理论建立(符号化),发展过程中用到抽象、观察、类比、归纳等逻辑性思考方法.概念教学是对历史的重演，沿着前人足迹，学生经历概念的自然生成过程.