跨越运算“门槛”，提高运算素养

安徽 朱启州

高中教师常常抱怨学生运算能力不足，学生常因运算失误造成“会而不对”，结果后悔不已，运算“门槛”制约学生数学素养的发展.我们知道，数学运算是数学演绎推理的重要方法，是解决数学问题的基本途径.学生通过理解运算对象、掌握运算法则，通过算法的探求与选择，培养学生数学思维能力与分析问题解决问题能力，培养学生严谨求实的理性思维品质.现就如何在高中数学复习教学中，提高学生运算素养谈几点看法，供读者参考，不足之处，请批评指正.

一、重视算法、多路探求与选择是跨越运算“门槛”的重要方法

【例1】(2017·上海卷·15)已知a，b，c为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列”的一个必要条件是

( ).

A.a≥0 B.b≤0

C.c=0 D.a-2b+c=0

【分析】本题试图通过特殊值法进行筛选不容易得出结果，故选用综合法.将条件“x100+k，x200+k，x300+k成等差数列”转化为2x200+k=x100+k+x300+k，进而2[a(200+k)2+b(200+k)+c]=a(100+k)2+b(100+k)+c+a(300+k)2+b(300+k)+c，若直接进行计算就有点烦琐，可令t=200+k，于是上式转化为2at2+2bt+2c=a(t-100)2+b(t-100)+c+a(t+100)2+b(t+100)+c，很容易得到20000a=0，即a=0，故选A.

【点评】在上述解题中，显然综合法运算环节少、较简单，表现为通过同一问题的不同运算途径的多路探求，筛选出更简捷的方法.这就要求我们在复习课的教学中引导学生利用多种途径探寻解题，注意算法的优选，增加运算的思维含量，养成且思且算的良好习惯.

二、善于从全局角度思考是跨越运算“门槛”的重要途径

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三、善于等价转化问题中的关键信息是跨越运算“门槛”的法宝

【分析】在一个数学问题中，最复杂的那个条件往往是核心条件，将这样的条件化为易于理解和运用的条件，达到“拨云驱雾”的目的.本题第二个条件较复杂，宜对其进行整理化简.

四、适当地精熟化训练是跨越运算“门槛”的基本功

【例4】(2018·全国卷Ⅰ·理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________.

【点评】本题为函数的最值问题，研究函数的单调性是最基本最重要的方法，而导函数法又是最有效的方法.在求导过程中，不少学生因对复合函数求导不熟练，常犯(sin2x)′=cos2x的错误，对本题来说，学生熟练求函数的导函数就显得关键了.俗话说“熟能生巧”，我们不主张过度训练，但是对运算法则、运算技能进行适当地精熟化训练也是必需的，是运算能力形成的不可或缺的过程，是培养学生“数学运算核心素养”的基本要求.因此，平时教学中数学解题训练要落到实处，要给学生留出一定的独立运算实践的时间与空间.

五、养成良好的运算习惯是跨越运算“门槛”的根本

【解析】由an+1-an=2n，得an-an-1=2(n-1)(n≥2,n∈N*)，

所以a2-a1=2×1，a3-a2=2×2，…，an-an-1=2(n-1)，

所以an=n2-n+33，