二轮复习要引导学生抓解题“特征”

广东 陈跃琳

新一轮的课程改革已经进入关键时期，在教育教学中越来越强调培养学生的数学核心素养和学习能力.近年来，高考制度的改革给高考复习备考带来了深刻的变革，在复习中教师越来越注重学习方法、解题方法的传授，而不只是向学生传授基础的学科知识.数学是促进学生能力发展、思维提高以及认知水平提高的基础性学科.但是由于高中数学知识的复杂性、抽象性使很多学生在学习过程中望而生畏.二轮复习是提升学生能力的阶段，若教师在数学解题教学中的教学方式以及教学理念运用不当，就会使得学生的复习效率低下，表面上看，每天都沉浸在高压的学习中，但是并没有什么太大的效果.因此，教师必须要转变教学理念和教学方式，引导学生对不同类型题目的特征进行总结和归纳，掌握不同的解题方法，让学生在做题过程中体会数学的魅力.

许多数学问题，细心观察就会发现，无论是条件、结论，还是数值、结构形式等，都表现出或隐含着某些“特征”，这些“特征”是问题的“题眼”，是解决问题的切入点.在二轮复习教学中，教师要善于引导学生抓住这些“特征”，并以这些“特征”为导向进行分析、变换、联想、构造，这样可以快速获得解决问题的思路或优化解决问题的过程.下面从几方面阐述抓“特征”在数学解题中的导向作用.

一、数据特征

许多数学问题，都会出现具有某种特征的数据，会对问题的解决起着导向作用.只要注意观察、分析，重视挖掘，从数值本身的变化、数值与数值之间的联系去寻找解题的切入点.

二、位置特征

与图形(象)有关的一些数学问题都有它特定的位置关系，若能细致分析某些关键的点或线的位置“特征”，不仅可以简化运算过程，甚至可以得到不攻自破的解题效果.

解析：双曲线C的一条渐近线平分圆的周长，意味着这条渐近线经过圆的“圆心”.抓住这一位置关系，问题便容易攻破.

点评：若不能发现双曲线C的渐近线经过圆的“圆心”这一位置关系，则很难处理渐近线将圆的周长平分，也就无法顺利解决问题.

例4.(2018·全国卷Ⅲ·理6文8)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是

( )

A.[2，6] B.[4，8]

解析：由于|AB|是确定的，所以△ABP面积的取值范围取决于点P到直线x+y+2=0的距离.所以过圆心作直线x+y+2=0的垂线，与圆的交点即为所求的点P的位置.

点评：发现“过圆心作直线x+y+2=0的垂线，与圆的交点即为所求的点P的位置”是顺利解决问题的关键.

三、图形特征

有些抽象的数量关系，若转化为具体的图形问题，并抓住图形特征，则思路直观、清晰，有利于快速解题.

例5.(2017·全国卷Ⅰ·理13)已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=________.

点评：向量具备代数和几何特征，在处理涉及向量模的一类问题时，若充分运用“图形特征”会加快解题速度，可使问题得以“秒杀”.

解析：由(a-c)2+(b-d)2很容易联想到它的几何意义，其表示两点(a,b),(c,d)的距离的平方.

点评：有些多元问题表面上看起来比较繁琐，无从下手，而转换视角，挖掘题设条件中蕴含的图形特征，便可找到问题解决的切入点.比如本题就是将代数问题几何化，并借助导数来分析动点间的距离问题，对培养学生的数学抽象这一核心素养有一定的帮助.

四、结构特征

数学问题条件或结论中的数、式结构常常隐含着某种特殊的关系，注意洞察并加以分析、加工和转化，可迅速找到解决问题的思路.

例7.设x、y为实数，且满足

解析：条件中两方程左边的结构形式相同，为此，构造函数f(x)=x3+2 019x，并讨论其单调性和奇偶性从而达到解题的目的.

构造函数f(x)=x3+2 019x，易知它是奇函数，且在R上单调递增.

所以x-1=1-y，即x+y=2.

点评：若按常规方法求解此题，难度较大，甚至无法入手.这里通过构造函数，利用函数的奇偶性和单调性转化求解，方法巧妙，且过程简洁.

(Ⅰ)证明：sinAsinB=sinC；

解析：(Ⅰ)略.

因为A为△ABC的内角，所以A∈(0,π)，sinA>0，

所以tanB=4.

五、差异特征

许多数学问题的条件与结论之间、“量”与“量”之间，往往表现出一些“差异”关系，这些“差异”以特有的方式直接或间接地暗示着解题的方向.

例9.已知函数f(x)=ax-bx(a>0,a≠1).

(Ⅰ)若函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(e-1)x，求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，设g(x)=x2-x+m，若∃x0∈R，使∀x∈R不等式f(x)>g(x0)成立，求实数m的取值范围.

解析：(Ⅰ)因为f(x)=ax-bx(a>0,a≠1),所以f(1)=a-b=e-1.

又因为f′(1)=alna-b=e-1，所以a=e，b=1，所以f(x)=ex-x.

(Ⅱ)x0是存在量，x是任意量，从这一“差异”中我们可以意识到问题需要转化求解才能奏效.

∃x0∈R，使∀x∈R不等式f(x)>g(x0)成立⟺当x∈R时，f(x)min>g(x)min.

当x≥0时，f′(x)=ex-1≥0，所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.

当x<0时，f′(x)=ex-1<0，所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减.

所以函数f(x)在(-∞,+∞)上的最小值为f(0)=1.

点评：数学中的“任意量”与“存在量”常见常用，变式多样，内涵深刻.本题依据“量”与“量”之间的差异，将条件不等式的成立等价转化为函数的最值关系求解，体现了化归与转化思想的应用.

解析：条件中给出了两个“不等量”关系，结论探求的是“等量”关系.通过对这一差异“点”的分析，获知解题的切入点就是化“不等”为“等”.

因为Sn≤n2+n-1，所以S1=a1≤12+1-1=1，即a1≤1.①

由①②得a1=1.

故由③④可得d=2.

点评：本题通过对“等”与“不等”的差异“点”的分析转化，使得不等式中的“夹逼”法则：“如果实数x,a满足a≤x≤a(即x≥a且x≤a)，则必有x=a”在本题求解中起了重要的作用.