2018年高考全国课标Ⅰ卷理科第21题的多角度证明

■福建省泉州市第七中学 彭耿铃

2018年全国课标Ⅰ卷的理科第21题为导数解答题，形式上有“简约而不简单”之感，试题以常规的知识和方法为载体，挖掘了数学的学科本质，较好地考查了考生的综合能力和学科素养，有利于科学选拔创新人才。本文旨在探究此题型规律，揭示解题方法，提供解题规律，希望对读者以后参加高考大有帮助。

原题(2018年课标Ⅰ卷理科数学第21题)已知函数f(x)=-x+alnx。

(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明:＜a-2。

解：(1)略。(2)由(1)知，当且仅当a＞2时f(x)存在两个极值点。由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0，所以x1+x2=a，x1x2=1，不妨设x1＜x2，则x2＞1。由于＜a-2等＜a-2，即证明:ln x2-lnx1＜x2-x1。

法二(利用对数均值不等式):要证明lnx2-lnx1＜x2-x1，即证明＞1，由对数均值不等式(当b＞a＞0时，b＞=1，证毕。

法三(转化法):因为x1+x2=a，x1x2=1，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1，故证明＜a-2等价于证明x1+x2-2，即证明f(x1)-+2x1＞f(x2)-+2x2，令h(x)=f(x)-x2+2x，则证明原不等式转化为证明h(x1)＞h(x2)，即证明x＜1)，令F(x)=h(x)-h）(0＜x＜11111)，则:

法四(变换主元):由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2，且f(x)的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x1＜x2，则，故x2-x1=，因为等价于证明＜a-2，即证明ln＜x-x，即证明

21(a＞2)，即证明＜0(a＞2)，构造函数h(a)=(a＞2)，则h'(a)=2·＜0对a＞2恒成立，故h(a)=在(2，+∞)上单调递减，故h(a)＜h(2)=0，即对a＞2恒成立，证毕。

法五(定义法):由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2。由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0，所以x1+x2=a，x1x2=1，不妨设x1＜x2，则x2＞1。由于-1+a·=-2+，由斜率及导数的几何意义可知:故要证＜a-2，只需要证[f'(x)]max≤a-2，即只需要证a2≥a+2(a＞2)，显然成立，证毕。

法六(构造法):由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2。由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0，所以x1+x2=a，x1x2=1，不 妨 设 x1＞x2，则＜a-2⇔f(x1)-f(x2)＜(a-2)(x1-x2)，即等价于证明f(x1)-(a-2)·x1＜f(x2)-(a-2)x2(*)。构造函数g(x)=f(x)-(a-2)x=-x+alnx-(a-2)x，则(*)等价于证明:g(x1)＜g(x2)。因为g'(x)=由f'(x)=0得x2-ax+1=0，即x2=ax-1，故g'(x)==2-a，因为a＞2，所以g'(x)＜0，故g(x)在(0，+∞)上单调递减，由x1＞x2知，g(x1)＜g(x2)，证毕。

以上的几种证明方法更容易接近问题的本质，使得同学们更容易接受，解题思维更加流畅，更容易地寻找解题的方向。因此同学们在日常的学习中，应多视角思考，经历用不同方法解决数学问题的过程，才能有利于开拓数学视野，为自己的终生发展、持续发展、多元发展奠定良好的基础。