数学抽象：从传统到现代的探究

叶翠桃

[摘  要] 面向初中数学学科的核心素养培育，要从数学学科核心素养组成要素的角度去进行细致的分析，当前数学科学学科核心素养中的要素之一是数学抽象. 在经典理解下，数学抽象强调学科特征，也就是说数学抽象的出发点是数学研究对象，而落脚点则是数学概念等. 在数学抽象的过程中，强调舍弃事物的非数学属性，只留下数学属性. 在核心素养视角下，数学抽象可以从心理学角度认识，即数学抽象的过程分为“认识——内化——应用”等三个阶段. 未来的初中数学教学本着核心素养培育的需要，也应当积极借鉴脑科学的研究成果，并将其与数学教学经验结合在一起，这可能是数学学科核心素养落地的一个重要思路.

[关键词] 初中数学;数学抽象;经典理解;核心素养

当前初中数学教学研究的热点之一，毫无疑问是核心素养. 面向初中数学学科的核心素养培育，要从数学学科核心素养组成要素的角度去进行细致的分析，当前数学科学学科核心素养中的要素之一是数学抽象. 数学抽象这个概念其实教师并不陌生，就算是从教很多年的数学教师也都知道数学抽象这个概念，因此数学抽象实际上是一个非常传统的概念，将数学抽象纳入数学学科核心素养的范畴，说明数学抽象确实是数学学科的重要元素. 那么在核心素养背景之下，培养学生的数学抽象能力，最好就要能够对数学抽象有一个系统的了解. 于是笔者提出了从传统到现代的角度去探究数学抽象的思路，并且进行了实践.

关注数学抽象经典理解

首先应当认识到的是，数学抽象是抽象的下位概念，而所谓的抽象，就是指在对事物进行研究的过程中，舍弃若干具体事物中个别的、非本质的属性，抽出它们共同的本质属性. 相对于抽象而言，数学抽象强调学科特征，也就是说数学抽象的出发点是数学研究对象，而落脚点则是数学概念等. 在数学抽象的过程中，强调舍弃事物的非数学属性，只留下数学属性. 当然这样的定义只是用于教师，既可以促进教师对数学抽象有一个准确的理解，对于学生而言，教师要努力的方向是，通过有效的教学设计，让学生体验数学抽象的过程，只要学生能够体验一个有效的数学抽象过程，那么他们的数学抽象能力就能得到有效的培养.

以上是从宏观的角度，对数学抽象的经典理解做出的阐述，在传统与经典的视野中，如果进一步细化，那么数学抽象还有这样一些含义：

其一，数学抽象的过程往往是舍弃事物和现象的质的过程，而保留事物和现象量的属性. 这是一个很重要的理解，尤其是对“量”的理解，决定了数学抽象的质量，而且特别需要注意的是，这里所说的“量”，不绝对是指数量. 我们知道，数学是研究数与形的学科，数固然属于量的范畴，而抽象之后的数学意义角度的形，本质上也属于量的范畴. 比如初中数学中常常遇到的三角形、圆形等，它们虽然是图形，但是却只是一种没有现实属性而只有数学属性的空间形式，这种形式也属于量的范畴，是数学抽象的结果.

其二，数学抽象虽然是抽象的下位概念，但是数学抽象的程度却高于一般的抽象. 其实在人们的生活当中，抽象也一直是发生的，但是这种抽象往往只是低水平的抽象，数学抽象强调将非数学的特征剥离干净，只留下纯粹数学的那部分. 比如初中数学中的数轴，看起来是一个形象的图形，但是实际上在用它来表示数的时候，可以发现其中任何一个元素都不是多余的，而且少一个也是不行的. 这种简化到了极致的表示数的方法，很大程度上就是数学抽象的结果. 因此从这个角度来看，数学抽象既有可能是从形象事物走向抽象事物的过程，也有可能是人基于数学研究的需要，直接用抽象的方法建立起来的数学对象的过程.

其三，数学抽象需要具体的方法的支撑. 要想剥离事物或者对象的非数学元素，没有方法的支撑是不可能的. 早在20世纪90年代就有研究者指出，数学抽象本质上是一种建构活动，这种建构活动是需要运用到基本的数学思想方法的，但同时又是超越这些方法的. 在设计学生数学抽象体验活动的时候，要高度关注学生的建构活动.

综合上面三点，笔者的观点是，在初中数学教学已经走向核心素养的时候，将数学抽象的经典理解进行一个简单的梳理，是为了让教师能够在对数学抽象的理解中站穩脚跟，同时将研究的视野转向核心素养之后，能够更好地知道数学抽象的来龙去脉.

核心素养下的数学抽象

然后将目光转移到核心素养及其培育的背景之下，看看初中数学教学中的数学抽象应当如何理解. 可以肯定地讲，数学抽象是数学学科素养中最重要的素养. 数学抽象的心理学过程分为“认识——内化——应用”等三个阶段. 教师在教学过程中可以与之对应地从概念、总结、类比能力以及数学应用能力等途径实现培养目标. 这样的判断，可以让一线教师比较清晰地界定核心素养下的数学抽象概念.

这里以“轴对称”这一知识的分析来说明. 轴对称是初中数学中比较典型的“形”，在学生的生活当中，有着很多轴对称的事物，对于初中学生而言，让他们去加工这些案例，然后进行抽象，就可以得到数学意义上的轴对称概念. 那么在教学设计的时候，就要注重这样几个环节：

一是认识. 认识的过程主要是加工形象事物的过程，在教轴对称这一知识的时候，首先要给学生提供丰富的轴对称事物，如人的外表、中国的传统建筑、脸谱、风筝、剪纸、窗花等;然后还要给足学生时间，让他们自己去寻找轴对称. 在这样一个过程中，教师不必强调轴对称这一概念，只需要用案例引导学生，以帮助他们建立感性认识.

二是内化. 内化的过程是数学抽象过程的核心，先研究上面所举的例子中事物的共同特征——对折后能够重合，然后建立起“轴对称图形”的概念，进而建立“对称轴”这一概念. 其后，将这些研究对象中的非数学属性去除，比如去除具体的颜色、形状等，通过分析与归纳的方法，得出轴对称就是“一个图形沿着某一条直线折叠之后，能够与另一个图形重合”，到了这个时候，学生大脑当中就不应当是具体的事物，而应当是抽象后的图形. 此时还有一个重要的环节，就是让学生对自己所举的例子进行抽象，然后在大脑中去构建出轴对称的情形.

三是应用. 经过了上述努力，学生已经通过数学抽象建立起了轴对称的认识，这个认识是需要巩固的，巩固轴对称概念的过程，也就是深化数学抽象的过程. 对于轴对称概念而言，最有效的应用就是让学生去画出轴对称图形，教学设计中可以遵循循序渐进的原则，先让学生去画一个点的轴对称点，然后再画一条线的轴对称线，最后再给出三角形或者四边形，等等. 从教学方式的角度来看，还可以采用小组合作的方式，让小组之内的学生互相出题——这是一个非常有效的教学方式，因为无论是对于出题的学生而言，还是对于答题的学生而言，都需要在大脑当中去寻找一个自己能够解决，同时又对同学具有一定挑战性的图形，这实际上呼应着数学抽象经典理解中的“建构”. 而且这个建构过程是在学生独立于教师之后，完全通过自身的自主思考完成的，因而这是一个抽象特征非常明显的过程，对于培养学生的数学抽象能力来说非常有效.

通过这个例子可以看出，核心素养视角下的数据抽象，既具有传统的数学抽象特征，同时又有着明确的素养特征，这是因为数学抽象往往总是与数学学科核心素养其他要素结合在一起的，这相对于数学抽象的经典理解而言是一种拓展与提升.

面向未来的数学抽象教学

值得一提的是，虽然《义务教育数学课程标准（2011版）》对初中生的核心素养没有明确界定，目前的研究文献也多数是针对高中生核心素养的研究，但作为义务教育的重要学段，本着增强学生核心数学能力，以及初高中衔接为高中输送更多合格的具有成长性的人才的目的，研究核心素养又是非常必要的. 而且可以肯定的是，即将颁布的初中数学学科核心素养中，必然会存在数学抽象这一要素. 因此此时借鉴其他学段的数学学科核心素养的理解，尤其是从傳统的角度以及现代的角度，对数学学科核心素养中的数学抽象进行细致的研究，可以帮助初中数学教师有效地叩响核心素养的大门. 回到数学抽象本身，梳理它的经典理解与现代理解，笔者还发现有人从脑科学的角度对抽象进行了研究，得出的结论是抽象活动的基本步骤为分离属性与建构模型——概括与一般化——定义与符号化——系统化. 笔者就想，未来的初中数学教学本着核心素养培育的需要，也应当积极借鉴脑科学的研究成果，并将其与数学教学经验结合在一起，这可能是数学学科核心素养落地的一个重要思路. 综上所述，数学学科核心素养的培育，对于初中数学教学来说，既在未来，也在眼前. 以数学学科中最为典型的数学抽象这一特征作为切入口，可以奠定学生数学抽象能力培养的基础，也可以奠定核心素养培育的基础.