一道高考题求解错误的调查研究

贾丽红

甘肃省兰州市第二十七中学 (730030) 陈鸿斌甘肃省兰州市第五十二中学 (730000)

笔者对一道2017年高考文科数学全国卷Ⅰ第17题进行了调查研究,惊讶的发现了学生的7类求解错误,同时也发现了学生的几种巧妙解法.通过调查研究,反思我们高三复习以及高中数学教学中的不足与缺陷,并提出一些改进措施：重视数学核心素养的发展；注重数学思想方法的渗透；用正确的方法纠错；培养良好的非智力因素.

1 问题的提出

研究高考题一直以来是一个热门话题,一道好的高考题凝聚着专家们的智慧和心血,它可以反映出学生学习中的很多问题，而纠错、改错在高三复习中是非常重要的,让学生在纠错、改错中不断成长,逐步培养他们的数学核心素养,同时启发我们平时命题的针对性.

2 研究过程

2.1 调查对象

调查对象为甘肃省兰州市市属学校2019届的163名在校高三文科学生.

2.2 调查方法

采用试卷调查法和访谈法.收集试卷150份,选择其中25名学生进行访谈.

3.研究结果与分析

3.1 试题呈现

题目(2017·文科全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.

本题的正确率很低,只有6%的同学完全解得答案,还有5%的学生干脆没有解答,是由于本身基础太弱,无从下手.可见,全国卷Ⅰ对于一直使用全国卷Ⅱ的甘肃考生来说,确实比较难.

3.2 误区分析

经过统计,错误类型调查结果如下表.

错误类型错误一错误二错误三错误四错误五错误六错误七百分比5%10%30%2%5%34%20%

由上表可见，学生对此问题的解答错误率很高，对此我们分析求解错误的原因.

错误一:审题不清而致错

5%的学生审题不清,错误的将等比数列看成了等差数列,暴露出这部分学生没有养成良好的解题习惯,粗枝大叶、心浮气躁而不仔细审题.

错误二:目标不明确，不知求解哪些量

10%的学生不知道求等比数列通项公式,需要确定哪些量.暴露出这部分学生公式记忆不清晰,没有理解等比数列通项公式an=a1qn-1需要确定a1和q,也没有内化方程的思想.

错误三:不会消元求解方程组

错误四:分式约分错误

2%的学生能够想到除法消元,可是分式约分错误,学生的错误解答如下:

以上解答暴露出这部分学生不明白分式约分的法则,约去的是一个分子、分母的非零公因子,说明数学基础不扎实.

错误五:一元二次方程的根解错

错误六:将(-2)n运算成-2n而致错

有高达34%的学生犯了此类错误,其中一部分同学是书写习惯不好,没有加括号的意识;另一部分则是错误地认为(-2)n=-2n.暴露出的问题是学生学习数学的态度与习惯,还有不能区分(-2)n和-2n.

错误七:不会化简(-2)n+2+(-2)n+3

3%的学生对于(-2)n+2+(-2)n+3的化简,与同底数幂的乘法法则混淆而化成了(-2)2n+5.暴露出此类学生运算能力较弱,以及做题时复杂多变的心理.

3.3 问题分析

从学生的解答来看,做对的学生目标明确,基本功扎实,数学核心素养好,解法多样,简洁有效.

q2+4q+4=0.解得q=-2,将q=-2代入a1+a1q=2,得a1=-2.所以an=(-2)n.

从解法三看出,这些学生对等比数列已经熟练掌握,不但可以简化表达,而且还能熟练应用等比中项解决问题.这些学生在学习中能够自主探究和归纳总结,具有良好的思维品质.以上三种解法都体现着方程的数学思想,核心素养之数学运算是求得正解的支撑.

所以Sn-Sn+1=Sn+2-Sn.故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.

解法一、解法二主要是同底数加减法的运算,须具备数学运算的核心素养；解法三、解法四利用数学公式进行推理,排除了(-2)n带来的困扰,抓住问题的核心,进而优化了解题思路,须具备数学抽象和逻辑推理的核心素养才能实现,同时体现了划归与转化的数学思想、函数与方程的数学思想.尤其是解法四,从Sn+1,Sn,Sn+2之间的关系入手,使运算更加简洁、明了.

4.结论与建议

4.1 结论

通过调查笔者发现,文科学生的求解错误最多的是来自知识本身没理解、数学运算带来的;其次是思维能力和审题不清等导致的错误类型,对于文科生来说,数学核心素养是有限的,而数学核心素养的培养是一项工程.相对而言,审题不清的致错原因很少,主要是因为本题难度相对较大,数学核心素养的要求很高所致,这也说明学生综合解决问题的能力有限.

4.2 建议

(1)重视数学核心素养的发展

高考以能力立意,全面考查体现数学学科特点的六大核心素养,即数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.而良好的数学核心素养则是需要经过多次反复,从实践中锻炼出来的.这样通过发散思维训练,突破固定的思维模式,逐步培养学生的数学核心素养.

(2)注重数学思想方法的渗透

高中阶段主要掌握七大数学思想方法,即函数与方程的数学思想、数形结合的数学思想、分类与整合的数学思想、化归与转化的数学思想、特殊与一般的数学思想、有限与无限的数学思想、或然与必然的数学思想,其中在高考中,函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得最为突出．因此,在高三复习中要非常注重渗透数学思想方法,从而可以优化解题思路,找到合理的突破口,减少求解错误的发生.

(3)用正确的方法纠错

认真分析求解错误的成因,针对不同的错误类型,进行易错题归类、总结,以便于学生对知识的再认识.

(4)培养良好的非智力因素

有时候学生的许多解题错误与非智力因素也是离不开的,应在纠正不良的心理品质上下功夫.如要求学生上课时要专心致志,注意力集中；要有克服困难的精神,不能知难而退；克服马虎、粗心、不认真检查的毛病；并教育学生树立学习的信心,有助于提高成绩.