理解学生：数学“一题一课”教学的起点

陈 燕

浙江省象山县第二中学 (315731)

“一题一课”就是教师通过一道题的深入研究，挖掘问题背后的思想和方法，设计成局部探究的几个子问题，组织相关的教学探索活动，形成一类解决问题的方法，完成一节课的教学任务，以达成多维目标的过程.“切口小，深挖掘”是“一题一课”的基本特点，“做一题，会一类，通一片”是“一题一课”价值追求.最近，我县举行了教坛新秀课堂教学评比就是采用了“一题一课”的形式，其中有一位教师在课堂中的表现得到很多评委的认可，但笔者却有不同的看法.

1.教学过程简介

题目(2018浙江高考第8题)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则( ).

A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

环节一：回顾角

空间角图形语言范围基本方法线线角θ∈(0,π2]平移线面角θ∈[0,π2]找射影二面角θ∈[0,π]作垂线

环节二：作角求角

如图1所示，过S点作底面的垂线，垂足为O，连结OE，则∠SEO=θ2；过O点作OE0⊥AB，连结SE0，则∠SE0O=θ3；过E点作EO1∥BC，且EO1=E0O，连结OO1，则∠SEO1=θ1.易知EO0⊥面SOO1，则EO1⊥SO1.

环节三：提炼性质

分析θ2≤θ1与θ2≤θ3，把它推广到一般情景，不难得到以下两个结论：

结论1一条斜线与一个平面中的直线所成角的最小值为该直线与此平面的所成角的大小.

结论2一个半平面内任意一条射线与另一个半平面所成的角的最大值为该二面角的平面角(或其补角)的大小.

环节四：归纳总结

知识层面：空间角是有联系的，不同类型的角可以比较大小.

思想层面：此类问题需要用到特殊到一般、转化降维的数学思想，有助于提升直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养.

不可否认，相对于其他教师，本节课有以下两个亮点：

(1)教师对题目理解到位.好的数学题目往往用简约的语言表达了丰富的数学思想，好的问题是培养学生思维能力的课程资源.跟其他教师单纯关注题目的解法所不同的是，本节课的教师课前已经从问题的背景、问题外显知识、内隐的逻辑、涉及的数学基本思想、问题的切入口等方面进行了深入的理解.

(2)教学环节设计完整.首先，通过知识梳理，明确空间角的定义及求法；然后，借助几何模型，构建联系，探索解题方法；最后，拓展延伸，深入挖掘，获得一般结论.“三段式”的过程设计有助于学生形成对空间角的系统认知，不仅让学生会解这道题，而且还能知道隐藏在题目背后的数学原理.

2.忽视“理解学生”造成的教学尴尬

这节课老师发挥的很出色，但学生的表现似乎差强人意.众所周知课堂教学是师生互动、思维碰撞的“火热”的过程，但纵观整堂课，气氛沉闷，学生心不在焉.原本以为是“借班上课”所产生的负面效应，但一群学生课后的“吐槽”让笔者发现了真相，“这么简单的题目，很容易看出答案”、“可惜老师没让我讲，我能说出更简单的方法”、“线面角是最小角，以前上课不是讲过吗？”

章建跃博士提出课堂教学设计要基于“三个理解”，即“理解数学、理解学生、理解教学”.不难发现，本节课的两大亮点很好的明了“理解数学、理解教学”在课堂中得到了落实，但“理解学生”却无形中被淡化了，或者说被忽视了.众所周知，教学的主体是学生，教学的目标服务于学生，“一切为了学生，为了学生的一切”是教学的基本理念，因此，“理解学生”才是课堂教学首要考虑的问题，忽视对于学生的“理解”会产生不良的后果.

2.1 无法引发师生情感的“共鸣”

“亲其师才能信其道”，师生的情感共鸣可以拉近师生的距离，使学生学习动机由单纯的认知需要上升为情感需要，由“要我学”上升为“我想学”.但在本节课，教师只是按照课前的预设按部就班开展教学，由于没有给学生表达的机会，教师和学生在心理上就容易产生隔阂，无法在情感上产生“共鸣”.于是，课堂上就出现了“教师讲解激情，学生反应平淡”的尴尬场景.

2.2 无法引发师生思维的“共振”

教师设身处地地从学生实际的思维方式出发来进行教学设计，使自己的思维与学生的思维保持“同频”，进而引发“共振”，使教的过程与学的过程融为一体，从而促使学生思维的自主建构.但在本节课中，教师没有站在学生的思维考虑问题，而是完全按照自己的思维进行解题分析、总结解题方法、开展解题反思.一旦课堂成为教师表演“绝活”的舞台，学生成了被动的听众和看客，那么，课后出现学生无法认可和接受教师观点的现象也就在情理之中.

3.如何“理解学生”

波利亚在《数学的发现》一书就对“理解学生”作出了完美的阐释：“让你的学生提问题，要不就像他们自己提问的那样由你去提出这些问题；让你的学生给出解答，要不就像他们自己给出的那样由你去给出解答”.

3.1 蹲下身来，“惑学生之所惑”

在教学时，教师要隐藏自己的“权威”，从学生的认知基础和思维方式出发，将自己的思维退化到学生的思维态势，惑其所惑，疑其所疑，根据学生可能出现的疑惑，特意制造引起困惑的思维环境.就本节课而言，学生的真正困惑并不是获得正确答案，而是在于“三种不同的角”为何能比大小，遗憾的是教师并没有给出解释.空间中的三种角尽管定义不同，但实际上最终都转化为“线线”角，这是处理立体几何问题的基本技巧——“空间问题平面化”.如果在本节的“复习回顾”环节能够强调这种解题技巧，那么解题方向就会得到明确，后续教学也就能顺利展开.

3.2 退后一步，“难学生之所难”

图2

教学中,有些问题在教师看来似乎很容易,三言两语就可说清楚；但是,对不少学生来说其实很困难,存在难以解答的疑惑和无法逾越的障碍.对于教学中难点的突破，教师只有善于进行换位思考，从学生的角度出发，才能体会到学生的困难所在.本节课的难点是什么呢？那就是如何让学生掌握空间角问题的一般解题思路.教师显然有些“操之过急”，直接把“作角——证角——求角”这一定量计算方法抛给学生.因为学生心里有“更简单”的方法，那就是通过“折纸”进行定性分析，如图2，当矩形纸片沿着AB缓慢折起时，三个角的变化情况一目了然，答案很容易选出，当学生认为自己的方法比老师的“简单”时，他们往往会采用拒绝接受或者“选择遗忘”来应对，从而导致教学效果大打折扣.若要避免出现这样的情况，教师首先应该尊重学生的想法，让学生充分展示解题思路；然后顺着学生的思维提问，“除了这种直观判断的方法外，有没有更加精确的方法”，于是就自然而然的引出对定量计算的思考；最后，提炼解决此类问题的一般套路“动手操作、直观感知、定量计算”.

3.3 假装糊涂，“错学生之所错”

美国著名教育家布里昂认为:“遇到学生学习上的障碍时,要装作不自觉犯了学生的错误,要装出一筹莫展的样子.然后与学生一起奋力而有兴趣地‘爬坡’,最终到达知识的顶点.”由于认知障碍、理解偏差和思维习惯等方面的原因,学生难以避免地会犯一些知识性、方法性和“想当然”的错误.对学生而言，“犯错”并非是坏事，“错误”有助于教师更好的了解学生的思维，甚至是很多学生必需要经历的思维阶段.因此，在本节课中，教师可以“装糊涂”一下,故意和学生“一起犯错”，然后再回过头来正视这一错误，让学生识别错误或故意挑起争论，积极地开展纠错活动，这样课堂的气氛就会活跃起来，师生的沟通也就顺畅了.

好的课堂一定是知识自然生成的“殿堂”，学生展示智慧的舞台.从“理解学生”出发，在清楚学生的学习基础、需求与差异，清楚学生学习特定知识的生长点与潜在困难的基础上，确定铺垫的角度与知识点，于学生思维最近发展区内展开对话，从而使学生在教师的“贴地而行”中“翩翩起舞”.