2018年北京卷(理科)第19题的推广

曾立梅 胡芳举

湖南省桃江县第一中学 (413400)

2018年北京卷(理科)第19题为：

已知抛物线C：y2=2px经过点P(1，2),过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；

解：(Ⅰ)略;(Ⅱ)由题设知:抛物线C的方程为y2=4x.

图1

注意到直线QP与抛物线C相切，于是可将该题作如下推广:

图2

证明:以O为原点，OQ为x轴建立直角坐标系．设直线AB的方程为x=ky，点P(x0,y0),Q(m,0),A(ky1,y1),B(ky2,y2)．

原点O与直线PQ是一对极点极线，由此可得直线PQ的方程为dx+ey+2f=0．将点P(x0,y0),Q(m,0)代入以上方程得dx0+ey0+2f=0，dm+2f=0(*).