2018年高考数学创新型试题的背景*

赵思林 柴文斌

四川省内江师范学院数学与信息科学学院 (641112) 黄成世四川省遂宁中学 (629000)

我国高考数学历来重视对基础知识、基本技能、基本数学思想的考查．《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称新课标)在《学业水平考试与高考命题建议》中明确要求：“重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识．”[1]教育部考试中心也强调“从测量考生的发展性和创造性入手，突出推理论证能力、应用意识和创新意识的考查．”[2]因此，考查创新意识是高考数学命题基本原则之一，是高考数学命题的重要任务．创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一．高考数学创新型试题是指从测量考生的发展性和创造性着手突出能力考查的新颖问题[2]．高考数学创新型试题一般都有深刻的背景，如教材背景、高等数学背景、实际应用背景、新课程改革背景、数学文化背景等．

1.教材背景

数学“四基”(基础知识、基本技能、数学基本思想和数学活动经验)是实现数学创新的必要基础．数学的创新离不开“四基”，“四基”离不开教材．教材是高考数学试题的创新之源．由教材编拟创新型试题是高考命题的常用方法，是高考命题智慧的体现．从高考试题的题源来看，教材是试题的主要来源，是高考命题的基本依据和出发点，历年高考试卷中都有一些试题直接出自于教材或由教材上的例、习题改编而成．高考命题重视由教材的知识、例题、习题生成试题，既可保证试题的公平性，又对抑制题海战术有一定的积极作用，对中学数学教学有良好的导向作用．

点评：本题第(1)问在人教A版教材选修2-2第一章第二节《导数的计算》习题A、B组(第18、19页)都能找到根基，而对于第(2)问笔者发现本题是以ex≥1+x，当且仅当x=0取等为背景立意的，而这正是人教A版教材选修2-2第一章第三节《导数在研究函数的应用》习题B组1题(第32页)中的一个选项，可以说命题人牢牢抓住以教材为中心，体现了高考题来源于教材，符合新课标2017版的基本理念．下面就这一背景对本题第(2)问给一种更加优化解答．

解：(2)在ex≥1+x中，令x=t+1代入得et+1≥2+t，即-et+1≤-(2+t)．而ax2+x-1≥-ex+1等价于ax2+x-1≥-ex+1，即等价于ax2+x-1+ex+1≥0．当ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+x+2=(x+1)2≥0时，有ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+x+2=(x+1)2≥0．所以f(x)+e≥0．

点评：通过探究可以发现，本题问题的实质是平面内一个正三角形在绕着一个顶点旋转，而研究另两个顶点到定直线的距离之和的最大值，而这样一个问题恰好与人教A版教材必修4第三章第二节《简单的三角恒等变换》复习参考题A组13题(第147页)所运用的数学模型一样，基于此，我们采用教材的解题思路就可以得到一种更加优化的解题方法，如下：

图1

2.高等数学背景

高等数学的一些基本思想和基本概念为设计创新型试题提供了广阔而又深刻的背景，这是因为以高等数学为背景的试题能有效考查学生学习的潜能．许多高考创新型试题都有比较深刻的高等数学背景，这类题目立意深远、形式新颖，在平常教学中很少碰到．

例4 (2018年全国卷Ⅲ理科第21题)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x．

(1)若a=0，证明：当-10时，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a．

利用极限的保序性以及洛必达法则，可得

点评：本题第(2)问以邻域的定义以及洛必达法以及数学极限为背景，主在培养学生自主学习的精神，以及超前学习的意识．

3.实际应用背景

广泛的应用性是数学的基本特点之一．数学的应用价值体现在它的工具性和应用性上．数学来源于生活，又能解决实际生活中的很多实际问题．因此，高考命题重视对实际应用问题的考查．实际应用题是对考生“综合实力”的考查，是考查数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养的良好题型，也是考查数学创新意识的良好题型．

图2

例5 (2018年江苏卷第17题)某农场有一块农田,如图2所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成,已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD．大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求AB均在线段MN上，C,D均在圆弧上,设OC与MN所成的角为θ．(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

点评：本题以生活中温室大棚为背景考查了三角函数的应用，第一问主要是建立一个角度模型值得注意的是角的定义域或者范围，第二问主要是三角函数最值问题，值得一提是第二问恰好与2018年全国卷Ⅰ理科第16题出现惊人的相似，它们所运用的解题方法是导数法、均值不等式法等，可以说今年命题人侧重对三角函数的热衷考查．应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题．

4.新课程改革背景

近几年，一些创新型试题命制的价值取向体现新课标精神，比如，新课标非常重视数学探究、数学建模，提倡考开放性问题．因此，近年出现了不少以数学探究、数学建模、开放性问题为背景的新题好题．

(1)数学探究

图3

分析：(1)分析从略．对于(2)，探索能否在线段AM上找到一点P，使得MC和平面PBD中一条直线平行.不妨在线段AM上任意取一点P，则平面PBD与平面AMC的交线为PG，通过探究发现：当P点为线段AM的中点时，即PG为△AMC的中位线，如图所示，那么易证MC∥平面PBD.

点评：本题主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，还考查应用向量知识解决数学问题的能力，反映了考生理性思维的广度和深度，体现了自主学习和主动探究的精神，呈现出研究性学习的特点，有利于启发和培养学生逻辑思维的能力．

此外，2018年全国卷Ⅰ文科第17题在所求数列中加入了讨论,通过层层递进、逐步深入的设问展现了思维的过程,充满了探究的味道,体现了新课标研究型学习的理念；2018年上海卷第21题提出“接近”数列这一新的概念，需要学生在自主学习的基础上进行探索、研究，形成解决问题的策略与表达．

(2)开放性问题

开放性问题是新课标大力提倡的创新型试题．

图4

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

(2)利用模型②得到的预测值更可靠．其理由是不唯一的，从略．

点评：本题以环境基础设施投资为背景,第二问的理由说明不唯一，体现了结论的开放性.考查概率统计中的线性回归模型、折线统计图等基础知识，以及数据立意与分析、数学运算、统计评价等数学素养．此外，2018年北京卷文科第11题、理科第13题以举例的形式开放，考查知识的形成过程，引导课堂教学更加注重过程和方法.

5.数学文化背景

数学是一门充满创新的科学，也是人类文化的精华．数学文化既崇尚创新，又强化育人．数学文化是立德树人的有效载体．数学文化在立德树人的过程中具有春风化雨、润物无声的巨大作用．

例8 (2018年上海卷第15题)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图5，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )．

A．4B．8C．12D．16

图5

分析：如图6所以，当另一条取边BB1时，顶点可取D1,D,E1,E，共4个点；当另一条取CC1时，顶点可取F1,F,D1,D，共4个点；当另一条取DD1时，顶点无可取，共0个点；当另一条取EE1时，顶点可取B1,B,D1,D，共4个点；当另一条取FF1时，顶点可取C1,C,D1,D，共4个点，综上所述，共存在4+4+0+4+4=16个“阳马”.

图6

点评：本题的创作灵感来自于《九章算术》它是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．本题以《九章算术》中阳马的概念为背景考查了立体几何中的棱柱与棱锥，设计思路新颖．试题将数学文化有机地融入试题，对于弘扬中国传统文化，树立文化自信，很有现实意义．

图7

例9 (2018年全国卷Ⅲ理科第3题)构件右边的小长方体是榫头．若如图7摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )．

点评：本题以中国古建筑借助榫卯(凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼)连接木构件为背景，很好的命制了一道三视图试题，此题的难度虽不大，但试题的背景材料非常新颖，展示了数学文化的魅力．考生需要先观察卯眼的直观图，再想象其俯视图，这和以往多数通过所给三视图想象直观图的命题方式相比，不仅了增添了一些新意，而且也传播了中国悠久的文明和智慧．这种以我国古建筑为背景的试题，使考生受到数学文化的教育，对于激发考生的民族自豪感，学习数学家的探索精神是有益的．

此外，2018年北京卷理科第4题以音乐中的“十二平均律”为背景，有机的将我国古代音律方面的成就与数学中的等比数列概念结合在一起，同时还考查了指数运算；2018年全国卷Ⅰ理科第10题以古希腊数学家研究的几何图形为情境，设计了一个几何概型及几何概率计算的问题．