关于(-1)n型数列通项与求和的解法初探

周 勇

广西梧州高级中学 (543002)

近年高考卷中陆续出现了一些递推公式中含有(-1)n的数列问题，由于其求法需要灵活的变形技巧，本文总结了以下几种常见的类型和解法.

1.类等和型数列:已知a1和an+1+an=f(n)，求an和Sn.

例1 若数列{an}满足a1=0,an+1+an=2n,求{an}的通项公式与前n项和Sn.

Sn=a1+a2+a3+a4+…+an=

例2 若数列{an}的前项和Sn满足Sn+2-Sn=3×2n+1，且S1=1,S2=4，求其通项与前n项和.

2.类等积型数列:已知a1和an+1×an=f(n)，求an和Sn.

例3 (2015年天津改编)若数列{an}满足a1=3,an·an+1=2n,求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.

例4 若数列{an}满足a1=1,anan+1=(2n-1)×(2n+1)，求此数列的通项公式与前n项和Sn.

解：∵anan+1=(2n-1)×(2n+1),∴a1a2=1×3式(1)，a2a3=3×5式(2),a3a4=5×7式(3),a4a5=7×9式(4),……,a2m-1a2m=(4m-3)(4m-1)式(2m-1),a2ma2m+1=(4m-1)(4m+1)式(2m).

[式(2)×式(4)×式(6)×式(8)×…×式(2m-2)]÷[式(1)×式(3)×式(5)×式(7)×…×式(2m-3)]得a2m-1÷a1=(4m-3)÷1,∴a2m-1=4m-3；[式(1)×式(3)×式(5)×式(7)×…×式(2m-2)]÷[式(2)×式(4)×式(6)×式(8)×…×式(2m-2)]得a1a2m=1×(4m-1),∴a2m=4m-1.

3.交叉等和数列:已知a1和an+1+(-1)nan=d，求an和Sn.

4.交叉等积数列:已知a1和an+1×(-1)nan=q，求an和Sn.

5.类交叉等和型数列:已知a1和an+1+

(-1)nan=f(n)，求an和Sn.

例5 数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前60项和为.

解：∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴a2n-a2n-1=4n-3,a2n+1a2n=4n-1,a2n+2-a2n+1=4n+1.∴a2n+1+a2n-1=2,a2n+2+a2n=8n,∴S60=[(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)]+[(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a48+a50)]=2×15+8×(1+3+…+29)=1830.

例6 在数列{an}中a1=1,an+1=(-1)n(an+1)，则{an}的前2013项和为.

解：由a1=1,an+1=(-1)n(an+1)可得a1=1,a2=-2,a3=-1,a4=0，该数列是一个周期为4的数列，故S2013=503(a1+a2+a3+a4)+a2013=503×(-2)+1=-1005.

6.类交叉等积型数列:已知a1和an+1×(-1)nan=f(n)，求an和Sn.

解法：化简an+1×(-1)nan=f(n)为an+1×an=(-1)nf(n)g(n)，即转化为类型2求解.

7.形如an=(-1)nf(n)(f(n)可为等差，等比数列或其他项)，使用并项求和法求Sn.

从成本管理自身角度来说，其作为一项繁琐性工作，通常情况下由成本规划、成本预测、成本管理及成本考核等诸多内容构建而成。在落实成本管理工作时，为了将成本管理作用充分发挥，需要从企业上下入手形成合力，给予成本管理工作高度注重，并将其落实到实处。然而，当前大多数制造型企业在开展成本管理工作时，普遍认为成本管理是财务部门的职责，其他部门无需参与其中，没有给予成本管理工作高度注重，导致成本管理工作过于形式化，影响自身作用的激发。并且，制造企业在成本管理过程中，没有开展专业培训工作，缺少引导和激励体系，在企业内部没有形成良好的成本管理意识，仅仅安排财务部门来落实，导致成本管理效果不理想。

例7 (2011安徽文7)若{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2)，则a1+a2+…+a10=( ).

(A)15 (B)12 (C)-12 (D)-15

解：S10=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a10)=-(1+7+…+25)+(4+10+…+28)=

-15，故选D.

例9 (2014山东理)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

解：(1)易求得an=2n-1.

8.形如g(Sn,(-1)nan)=f(n)，使用奇偶讨论与并项求和法求Sn.

解：(1)用2m-1,2m,2m+1分别替换Sn=

有关含有(-1)n的数列问题类型很多，本文只是总结了常见的几种简单递推数列类型和解法，希望能为数列内容的复习提供些许帮助.