利用最小角定理解决一类空间角大小问题

张剑平

浙江省金华市第六中学 (321000)

一、最小角定理简介

最小角定理(三余弦定理)：与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角.

(1)定理解读：如图1，设点A为平面α上任意一点，过A点的斜线AO在平面α上的射影为AB,AC为平面α内的任意一条直线，则∠OAC、∠BAC、∠OAB三角的余弦关系为cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB.

图2

说明斜线OA与平面α所成的角是斜线与平面α内所有直线所成的角中的最小角.

二、应用举例

例1 (2016浙江学考16)如图2所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的动点.记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成的角为θ2，则θ1,θ2的大小关系是( ).

A.θ1=θ2B.θ1>θ2

C.θ1<θ2D.不能确定

评析：这道学考试题如果严格按照线面角的定义和两直线所成角的定义来处理，需要构造三角形，利用三角函数的定义和单调性来求解，如果使用最小角定理可以快速找出答案.

解：依题意可知A1P在平面ABC内的射影为AP，∠A1PA=θ1，根据最小角定理可知：θ1<θ2，故选C.

图3

例2 (2017浙江省镇海中学模拟卷9)已知在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上异于点A的两点，把三角形AMN沿MN翻折，记翻折后的A为A′,直线A′C与平面BCDNM所成角为θ1，与直线MN所成角为θ2，则θ1与θ2的大小关系是：

A.θ1=θ2B.θ1>θ2C.θ1<θ2D.不确定

评析：本题主要考查空间线面位置关系及空间角的相关知识，考查考生的空间想象能力及逻辑推理能力，常规解法是作出A′在平面ABCD内的射影，进而分别作出θ1，θ2，利用三角形相关知识来比较角的大小.倘若借助最小角定理很快可以找出答案.

解：∵A′C与平面BCDNM所成的角θ1就是A′C与它在平面BCDNM内的射影所成的角，由最小角定理可知，θ1小于A′C与平面BCDNM内其他任何直线(射影之外)所成的角，∴θ1<θ2,故选C.

例3 (2018浙江8)已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则( ).

A.θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

评析：题目以考生非常熟悉的四棱锥为载体，却同时考查了空间角中三种关系：线线角、线面角、二面角，命题背景公平，设问通俗易懂，不会让考生产生畏难心理，却又对考生掌握基本概念，处理问题的综合能力要求比较高.按照常规思路求解，需要不断地构造直角三角形，并求相关角的三角函数值，再利用代数方法来比较角的大小.如果使用最小角定理，可避免一些运算和过多的辅助线.

解：如图4，作SO垂直于平面ABCD，垂足为O，取AB的中点M，连接SM.过O作ON垂直于直线SM，可知θ2=∠SEO，θ3=∠SMO，过SO固定下的二面角与线面角关系，得θ3≥θ2.

图4

易知，θ3也为BC与平面SAB的线面角，即OM与平面SAB的线面角，根据最小角定理，OM与直线SE所成的线线角θ1≥θ3，所以θ2≤θ3≤θ1,故选D.

图5

例4 (浙江省名校新高考研究联盟2019届第一次联考10)如图5，已知三棱锥P-ABC的所有棱长为1,M是底面ΔABC内部一个动点(包括边界)，且M到三个侧面PAB,PBC,PAC的距离成单调递增的等差数列，记PM与AB,BC,AC所成的角分别为α,β,γ，则下列正确的是( ).

A.α=βB.β=γC.α<βD.β<γ

评析：此题为浙江省名校联盟联考的选择题的压轴题，考查了数列、空间几何体的体积、两异面线所成的角等知识，其表面看起来是比较常见的一种题型，但实际上内涵深厚，对处理问题的综合能力要求很高，涉及到等差数列，三角函数，等体积法，求空间中某动点的轨迹，构造两异面直线所成的角等知识方法.如果在找到M点的轨迹之后使用最小角定理来比较空间角的大小，运算量和思维量都将下降许多.

三、结束语

上述几个例题视觉独特，立意新颖，选材紧扣教材又高于教材，具有立意深远，背景深刻，回归本质，在必修教材中尚未出现最小角定理，然而最小角定理能快速解决这类比较空间角的大小问题，教师若仅以教辅资料开展题海战术，不关注解决问题的本质方法，其结果往往是事倍功半.我们的高考复习不仅要关注教材中出现过的定理，还要关注教材以外但是应用广泛的一些定理、性质.教师除了提升自身的教学艺术，还要转变观念开阔视野，能有足够的功力看透题目的背景.在我们教学或学生学习的过程中，经常会碰到看似偶然，实则必然的问题，我们要善于抓住时机，深入思考，勇于探究问题解决背后的秘密，站在不同角度审视知识、方法中的本源，以达事半功倍之效.