运用解几模型 构造解题桥梁

史建军

江苏省丹阳高级中学 (212300)

构造法是异于常规解题的一种方法，近年来已有很多文章从不同的方面介绍了构造法的应用.本文试图就解析几何知识在构造法解题中的作用作一些初步探索.

一、两点间距离公式在构造法中的作用

二、点到直线距离公式在构造法中的作用

例2 已知x,y∈R,a,b,p,q∈R，且满足ax+by=0，p2+q2=a2+b2=1,ap+bq≠0.求证：函数z=x2+y2-2px-2qy+1的最小值为(ap+bq)2.

三、直线方程在构造中的作用

例3 设方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)在(-∞,-2]∪[2,+∞)上有实根,求a2+b2的范围.

解析：本题若直接由条件出发，利用实根分布条件求出a,b满足的条件，即在aOb坐标平面内表示的区域，再视a2+b2为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合方法，亦可获解，但过程很繁琐.考虑到变量a,b是我们要面对的主变量，故我们反客为主，视方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)为aOb坐标平面上的一条直线l:xa+b+x2-2=0,P(a,b)为直线上的点，则a2+b2即为|PO|2，设d为点O到直线l的距离，由几何条件知

四、斜率公式在构造中的作用

综上所述，M(a)·m(a)=1.

图1 图2

五、圆的方程与性质在构造中的作用

解析：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图2)，则A(-1,0),B(1,0).

六、直线与圆的位置关系在构造中的作用

证明：由条件可得

七、圆锥曲线方程在构造中的作用

图3

八、参数方程在构造中的作用

例8 已知x2+2xy+4y2=6,求x2+4y2的取值范围.

九、极坐标在构造中的作用

例9 已知实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,求函数z=x2+y2的最大值与最小值.

十、直线与二次曲线位置关系在构造中的作用

例10 若实数x,y满足4x2+y2=xy=1,求2x+y的取值范围.

以上我们举例归纳了解析几何中的部分知识在构造中的作用.从这些问题的求解过程我们不难看出，通过构造，给这些具有某种特性的代数命题赋予了几何意义，从而可用几何法来解，这在一定程度上起到了化繁为简，化难为易的作用.课堂教学中若能有意识地向学生介绍一些构造法的思想和应用，引导学生将表面上孤立、支离的知识系统化、网络化，将所学知识连成线、织成网、铺成面、围成体，养成对数学问题进行多角度、多方位、多层次的思考的习惯，建立全方位、立体化的认识，必将在潜移默化中培养学生深刻的思维品质，提高探索、创新意识和应变能力.