高考解析几何等角问题的解题策略

王 茜

江苏省扬州市新华中学 (225009)

对角的研究是高考解析几何的热点之一，等角问题涉及直线斜率、三角形相似、三角函数、解三角形及向量数量积等知识，综合性强，方法灵活多样，因而学生对等角问题往往感到比较困难，无从下手.本文给出一些解决此类问题的常见策略.

1.利用斜率之和为0

图1

(Ⅱ)当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

点评：根据图形的特征，把要证两角相等转化为斜率之间的关系，再将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及斜率公式即可证得结论.用代数的方法处理几何问题正是解析几何的基本思想.

2.利用角平分线性质

图2

点评：综合考虑题设中所给的显性与隐性的几何因素，破解两渐近线在直角坐标系中的位置特征，从几何性质入手，利用角平分线的性质，使得解题思路简明，事半功倍．

3.利用三角形相似

图3

点评：解析几何中，“代数”是方法、是手段，而“解析几何的几何性质”才是本质、更是其“灵魂”，更能深刻、直观地揭示出解析几何的本质属性.因此，在解题中，若能注重挖掘、灵活运用解析几何的几何性质，就可以避免繁杂的代数推理运算，收到化繁为简、直观、简洁的解题效果.

4.利用同名锐角三角函数相等

图4

例4 (2015年高考福建卷文科19题)如图4，已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且|AF|=3．(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)已知点G(-1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

解：(Ⅰ)抛物线E的方程为y2=4x(过程略).

点评：挖掘题目条件中图形的几何特征和数量关系，不断将问题转化、简化，并充分利用其几何性质，再借用三角函数知识，避免了繁琐的代数计算，提高了解题效率．

5.利用向量数量积

图5

点评：运用向量的数量积，可以把有关角度的几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要的结果.向量与解析几何，两者都是代数形式和几何形式的统一体，有着异曲同工之妙.向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已成为高考试题的一个特点.

6.利用极坐标

图6

点评：在圆锥曲线中涉及长度的问题通常运用两点间距离公式或弦长公式，但是这两种解法计算量都比较大，学生往往比较害怕．而极坐标中的极径与长度有关，若我们转变思路，尝试用极坐标求解与长度有关的问题，则可避免直角坐标系中的复杂计算，为我们解决问题带来方便．极坐标系是研究解析几何的一种重要方法和有力工具．

以上几种解题策略，分别从直线斜率、角平分线性质、三角形相似、三角函数、向量数量积以及极坐标角度对解析几何等角问题进行了全方位的、多层次的探求，体现的均是中学数学解题的重要思想和方法．在解题中引导学生寻求变异、放开思路、充分想象、巧用直观、探究多种解决方案或途径，可以很好地拓展学生解题思路，训练学生的发散思维能力，优化学生思维，激发学习兴趣．