一道数学竞赛训练题证法的商榷

王 炜

陕西省绥德县绥德中学 (718000)

《数学通讯》高中数学竞赛专辑(2012版)，全国高中数学联赛模拟训练题(6)中加试三，下面就它的证明过程提出商榷，然后再给出正确证明方法，供参考.

上述证明过程中，cosA,cosB,cosC不一定都大于零.

下面给出正确的证明方法.

(2)若△ABC为钝角△，令A>90°，B、C分别为锐角.∴cosA<0,cosB>0,cosC>0,

综上所述，原不等式成立.

证法2：(1)若△ABC为Rt△或钝角△，证明方法同证法1.

综上所述，原不等式成立.

证法3：(1)若△ABC为Rt△或钝角△，证明方法同证法1.

cosA+cosB+cosC+cos60°≤

证法4：(1)若△ABC为Rt△或钝角△，原不等式证明方法同证法1.

综上所述，原不等式成立.

又∵4R2+12R+14r2≤8R2+8Rr+6r2等价于R2-Rr-2r2≥0,(R-2r)(R+r)≥0,由Euler不等式R≥2r知上述不等式成立.

=2tanAtanBtanC.故原不等式成立.