由反向过年话学习数学的逆运算的教学探讨

2019-06-17 02:08陶印修陈超
商情 2019年16期
关键词:还原

陶印修 陈超

【摘要】今年反向过年是热话题,反向过年好理解,而逆运算就不好理解。教师把书教明白那是必须的基本功。教师若能由浅入深地教会学生理解所学知识,往往能引起学生的学习兴趣。本文试图从小学数学的加法与减法来理解互逆运算的概念,函数的概念,反函数的概念。所谓的逆运算是相对于正运算而言,加法是正运算,减法就是加法的逆运算。把函数理解为正运算有助于理解反函数概念,反函数就是函数的逆运算。显见正运算简单,而逆运算复杂,正逆运算的结果是还原。

【关键词】还原 互逆运算 正运算 逆运算

一、简单的加法与减法

我们都知道等式2+3=5是一种加法运算,由该等式可得另一等式5-3=2是一种减法运算。

二、减法是加法的逆运算

把上面的加法运算与减法运算中的2换成x,5换成y,可以抽象地把上面两个等式写成x+3=y与y-3=x。

1.还原与互逆运算

以上两个等式不仅可以相互推导,而且其关键问题是,原来的x经过加法运算“+”与减法运算“-”两种运算后x又还原回来啦,这样的两种运算就是互逆运算。

2.正运算与逆运算

我们把加法运算理解为正运算,那减法运算就是加法运算的逆运算。

三、函数是带未知量的运算

函数概念比较抽象,若把函数理解为带未知量的运算就简单了。

在x+3=y中,y=x+3就是带未知量x的加法运算,故y=x+3就是函数。

容易理解x叫自变量,y叫因变量。自变量的允许取值范围的全体叫函数的定义域。因变量的取值范围叫函数的值域。

自变量是一个的函数叫一元函数,本文把一元函数作为研究对象。

y是函数,运算通常用,來表示,函数y通常记作y=f(x)。本例中的运算f的含义是f()=()+3。

函数y=f(x)的实质,即运算f是作用在函数y=f(x)定义域上的函数。

四、反函数

虽然函数概念比较抽象,那反函数概念更抽象。

1.本义反函数

在函数y=f(x)中,是用x表示y。所谓函数y=f(x)的反函数就是反过来表示的函数,即用y表示x。函数y=(x)反函数的专用记号为x=f-1(y),把函数x=f-1(y)称为函数y=f(x)的本义反函数。

由前面的两个等式知x=y-3就是y=x+3的本义反函数。即

案例1y=x+3的本义反函数为x=f-1(y)=y-3。

需要强调指出,实际中用的就是本义反函数。

2.矫形反函数

习惯上自变量用字母x表示,因变量用字母y表示,但本义反函数x=f-1(y)中的自变量与因变量的记法与习惯表示不一致,为了与习惯表示保持一致,需要把本义反函数x=f-1(y)中的自变量与因变量互换位置,得y=f-3(x),把函数y=f-3(x)称为函数y=f(x)的矫形反函数(矫形反函数只是好看而已)。

案例2y=x+3的矫形反函数为y=f-1(x)=x-3。

3.本义反函数与矫形反函数是同一函数

因运算f-1是作用在函数y=f(x)值域上的反函数,故本义反函数x=f-1(y)与矫形反函数y=f-1(x)实质上是同一函数,正如赵本山与宋丹丹演的小品中说的,你脱了马甲我也认识你是一样一样的。

案例3案例1与案例2是同一函数。其实质为f-1()=()-3。

五、反函数就是函数的逆运算

我们把函数理解为正运算,那反函数就是函数的逆运算。事实上f-1[f(x)]=f-1(y)=x,x经过正运算“f”与逆运算“f-1”两种运算后x又还原回来啦,这样的两种运算就是互逆运算。

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