从“富余”条件谈高考试题的科学设计

李鑫

摘   要：高考物理试题偶尔会出现“富余”条件现象。文中提出了“富余”条件现象的两种成因，同时援引近期浙江两道出现“富余”条件的真题，对其从科学性、自洽性和考试信度三个维度进行分析评价。

关键词：“富余”条件;科学性;自洽性;选拔性;科学探究

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2019）4-0043-3

1    条件“富余”现象成因

最近，浙江省第七次选考刚刚结束，关于弹簧的一道试题出现了“富余”条件的情况。高考试题在设计成型时，题干可能会有“富余”条件。在试卷整体要求愈发规范的今天，通过“富余”条件来干扰迷惑学生答题的做法几乎被命题专家所摒弃。之所以题设中还会有“富余”条件，主要是从试题科学性角度考虑。比如，2007年理综卷一的第25题，就有很多师生认为此题条件出现“富余”[1]。而经过认真思辨，会发现这两个条件是命题者严谨考虑粒子运行轨迹之后添加的[2]，如若没有，题目是很难求解的。但实际上，这两个条件是等效的，也就是说确实“富余”了一个条件。但是，如果没有这两个条件，学生很难从一个条件推导出另一个，这道题目的难度会陡增，选拔效用反而会大打折扣。

由此可见，命题专家在给出“富余”条件时，除了基于试题科学严谨的原则，还会充分考虑到学生实际掌握知识的背景，多给出的“富余”条件有时是让试题更契合学生的实际水平，让考试的区分度更真实。而且在给出“富余”条件的时候必须充分考虑试题自身是否能“自圆其说”，即各个条件是否自洽。

2    电磁感应问题中的“富余”条件

（2017.11月第22题）如图1所示，匝数N=100、截面积s=1.0×10-2 m2、电阻r=0.15 Ω的线圈内有方向垂直于线圈平面向上的随时间均匀增加的匀强磁场B1，其变化率k=0.80 T/s。线圈通过开关S连接两根相互平行、间距d=0.20 m的竖直导轨，下端连接阻值R=0.50 Ω的电阻。一根阻值也为0.50 Ω、质量m=1.0×10-2 kg的导体棒ab搁置在等高的挡条上。在竖直导轨间的区域仅有垂直纸面的不随时间变化的匀强磁场B2。接通开关S后，棒对挡条的压力恰好为零。假设棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，不计摩擦阻力和导轨电阻。

（1）求磁感应强度B2的大小，并指出磁场方向;

（2）断开开关S后撤去挡条，棒开始下滑，经t=0.25 s后下降了h=0.29 m，求此过程棒上产生的热量。

本题是浙江第五次物理选考倒数第二题，试题把感生电动势和动生电动势熔于一炉，第二问又把导体棒运动问题、热量问题以及动量定理荟萃在一起，是一道考查学生基本功的好题目。

第二问常规处理方案如下：

由此可见，时间t=0.25 s和h=0.29 m可以互相推导，题设多出一个条件。然而，命题者如此设计的意图显而易见，因为绝大多数高中生不会微积分。如果抹掉“富余”条件，那么只能选拔竞赛生了。通过求解微分方程，发现题设数据完美匹配，是精心计算之后布置的参数，没有科学性错误，完美自洽。这也解释了为何此题的数据有些“不舒服”。

对于优秀高中生，教师鼓励他们建立微分方程进行求解，会让他们对非匀变速运动有更深刻的理解。对于普通学生，教师也可以循循善诱，类比匀变速运动。在匀变速运动当中，知道对象受力全部特征就知晓加速度，那么只需要知道一个运动学物理量就可以推导出其他全部运动信息。本题虽非匀变速运动，但物理原理依旧一致。题设却同时给出了导体棒下落的距离和时间，难道不存在“富余”条件现象么？就此可以让学生知道为什么非要多给“富余”条件。因为知识所限，没有这个条件解决不了问题。从学生角度讲，可以让学生有“触壁”感，即我现有的知识是解决不了一些问题的，那么今后遇到类似的情况时，有助于学生及早跳出死胡同，避免误入歧途。

这样的问题，本质上是通过多给条件实现“降阶”处理。对于学生，我们还可以追问，如果不会动量定理，本题你要怎么设计？不会动量定理，就没办法解决导体棒的末速度，所以同时给时间和位移还不行，得给出一些别的条件才可以。这样，学生在面对试题时就不再是客体，而是主体，是一个真正的参与者。对于一道好题目的深入挖掘，是契合科学探究精神的。

3    弹性势能问题中的“富余”条件

（2018.11月第20题）如图2所示，在地面上竖直固定了刻度尺和轻质弹簧，弹簧原长时上端与刻度尺上的A点等高。质量m=0.5 kg的篮球静止在弹簧正上方，其底端距A点高度h1=1.10 m。篮球静止释放，测得第一次撞击弹簧时，弹簧的最大形变量x1=0.15 m，第一次反弹至最高点，篮球底端距A点的高度h2=0.873 m，篮球多次反弹后静止在弹簧的上端，此时弹簧的形变量x2=0.01 m，弹性势能为Ep=0.025 J。若篮球运动时受到的空气阻力大小恒定，忽略篮球与弹簧碰撞时的能量损失和篮球的形变，弹簧形变在弹性限度范围内。求：

（1）弹簧的劲度系数;

（2）篮球在运动过程中受到的空气阻力;

（3）篮球在整个运动过程中通过的路程;

（4）篮球在整个运动过程中速度最大的位置。

（2016.4月第20题）如图3所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道I由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是hl=0.20 m、h2=0.10 m，BC水平距离L=1.00 m。轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高。当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m=0.05 kg的滑块沿轨道I上升到B点;当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑塊沿轨道I上升到C点。（已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比）

（1）当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小;

（2）求滑块与轨道BC间的动摩擦因数;

（3）当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由。

第一题（图2）是2018年11月第七次选考的第20题，也是浙江实行新高考以来第二次在计算题里考查弹性势能问题。上一次是2016年4月份的第20题（图3）。两题相较，此题考查运动形式更简单，而且对弹性势能要求有所降低，导致此题出现“富余”条件。

学生拿到这道题，都会觉得h2=0.873 m这个条件有些突兀，因为数据太怪了，甚至有学生觉得是不是印刷错误。

命题者之所以要补充条件，是因为高中阶段不要求学生掌握弹性势能的表达式。有意思的是，本题也可以像2016年4月第20题一样，给出提示：弹簧弹性势能和形变量的平方成正比。那么，这道题编拟起来更从容一些，难度也不会提高太多。实际上，有很多学生计算第一问的时候不是使用mg=kx2，而是用 ，同样可以做出正确答案。这也就是说本题甚至连x2都可以不告诉学生，当然这样的话难度就比较大了。

笔者以为，此题出现“富余”条件除了基于考查难度、试题科学性设计考量之外，还有一个本质不同。因为像弹性势能和点电荷电势公式这样的知识，是高考不要求但是学生接受起来也不难的知识，很多教师都会教给学生。对于程度很好的学生，自然能够丰富自己的“武器库”，面对问题有更高阶的认知。但是，对于一般程度的学生，反而会增加解题困扰：原先只走一条路，能多走一条路的时候反而不知道该怎么办了。面对这样的困境，“富余”条件反而增加了试题的难度。

解决的方案还是要让学生清晰物理原理。比如，对于弹性势能问题，通过对本题挖掘，当你掌握 ，自然会发现题目多出两个条件。站在这个高度回去俯视此题，不用弹性势能关系式，很容易会透析命题意图和高考要求下的解题策略。还可以通过对比，明晰有些精妙的设计。比如，2005年全国卷一的倒数第二题。

如图4，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，物体A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，物体A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使物体B离开地面但不继续上升。若将物体C换成另一个质量为（m1+m2）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次物体B刚离地时物体D的速度大小是多少？已知重力加速度为g。

此题考查的是受力分析和能量关系，真正考查学生分析物理问题的能力。教师可以让学生对比这三个关于弹性势能的问题，对于所谓的“富余”条件和对物理本质的把握，都会有显著的提高。

参考文献：

[1]柴宏良.再辨“2007高考全国理综卷中三个错误的辨析”[J].物理教学探讨，2008，25（9）：42-43.

[2]何晓萍，陶汉斌.2007高考全国理综卷中三个错误的辨析[J].物理教学探讨，2007，24（10）：42-43.

[3]李鑫.浙江选考物理进阶专题[M].吉林：吉林大学出版社，2017：31.

（栏目编辑    陈  洁）

收稿日期：2019-01-09

作者简介：李鑫（1989-），男，中学一级教师，主要从事中学物理教学工作，曾获第22屆全国中学生物理竞赛赛区一等奖。