随机动力学响应的高斯相关过程模拟

张 巍，应祖光

（1.浙江理工大学 经济管理学院实验中心，杭州310018；2.浙江大学 航空航天学院力学系，杭州310027）

动力学响应是描述系统振动状态、评估其性能、用于控制等的重要变量。通常的随机振动分析是先建立动力学系统模型，确定随机激励，然后按照随机振动理论方法评估响应，用数值方法计算对于一个样本激励的响应时程。简单的结构系统可确定较精确的模型及质量、阻尼与刚度等系统参数，从而计算随机响应。然而，实际问题如航空航天、交通工程等结构往往极其复杂，难以建立简单准确的系统模型，因此简化的模型具有一定的不确定性，包括参数、模型等随机偏差。虽然按照一定的系统偏差概率模型可以进行随机响应的统计分析，但对于高自由度系统将导致巨大的计算工作量，并影响结果的可靠性。此外，随机激励样本往往难以直接测量得到，通常经由测量系统响应时程、按一定系统模型反算得到，其结果将受模型不确定性的影响。因此，探索基于系统响应观测的、直接的随机过程概率模型与评估方法是克服模型不确定性等问题的一个重要途径。

近年来，人工智能与数据处理技术等领域迅速发展。面对同样的复杂系统不确定性问题，许多研究采用无确定性系统模型的、直接对于系统响应的随机过程概率模型，并基于随机过程模型直接进行概率评估、系统状态预测等，这种随机过程模型在模型层面就包含了概率统计特性，同时基于系统状态观测使得随机过程模型与评估能够针对当前的样本过程，并可随观测量的不断增加而更新随机过程模型，还可以根据贝叶斯定理更新概率密度[1-4]。鉴于高斯分布的普遍性、高斯过程的均值与方差确定性、及其概率统计特性数学表达的简洁与可分析性、系统前后状态的相关性等，高斯相关过程受到普遍关注并广为采用[3]，其相关性或协方差的核函数表达描述了空间与时间维度上的统计特性。然而，高斯相关过程概率模型在工程中的应用还非常有限与初步，例如文献[5-6]考虑结构系统参数的不确定性，用高斯过程模型评估频响函数。目前研究主要限于系统参数不确定性对于响应特性的高斯过程模型评估，而非随机激励的系统响应评估，随机响应的子结构与有限元法等在方法模型上是确定性、且导致巨大的计算工作量[7]。

本文提出一条针对动力学系统响应的、直接的随机过程概率模型与评估方法的新途径。首先介绍随机激励动力学系统响应的分析，考虑高斯白噪声激励，分析说明响应的高斯随机过程特性、响应在时间维度上的相关性、及其协方差随时间差的指数衰减特性。然后用高斯相关过程直接模拟系统响应，由响应协方差确定高斯过程的协方差，据此拟合得到高斯过程的核函数，从而确定响应的高斯相关过程概率模型，避免了复杂系统的确定性建模及其微积分运算等。同时介绍高斯相关过程的贝叶斯更新与系统状态预测。最后通过数值结果说明高斯相关过程模型的建立与响应评估情况。

1 随机响应的基本统计特性

通常动力学系统受随机激励可由微分方程表示，例如单自由度系统方程为

式中：x是位移，m是质量，c是阻尼，k是刚度，f(t)是随机激励。确定系统质量、阻尼与刚度，由式（1）可计算各激励下的响应x。设随机激励为典型的高斯白噪声，则f(t)于各时刻的随机变化是独立、互不相关的，相关时间为0。经由系统式（1）产生的响应x(t)也是随机的，且各时刻的随机变化服从高斯分布，但并不独立，其相关时间大于0。

高斯随机变量的统计特性取决于均值与协方差。由系统式（1），零均值激励的响应均值也为零。设τ是时间差，将t与t+τ时刻的式（1）两边分别相乘，并取期望可得关于协方差的微分方程。对于平稳响应，由t+τ时刻的式（1）乘以x(t)，取期望得

式中：Rx(τ)是协方差。由式（2）知响应协方差随时间差指数衰减（c＞0），即响应的相关时间大于0，相关程度随时间差增加而降低。因此系统响应是具有一定相关性的随机过程，或高斯相关过程，其相关性或协方差可用一定的衰减函数描述，通常称之为核函数[3]。

2 高斯相关过程的特性与模拟

简单的系统可确定较精确的质量、阻尼与刚度等参数，从而由式（1）计算随机响应。然而，许多实际系统具有一定的不确定性，导致参数或模型不准确，产生结果偏差。因此，直接的随机过程概率模型在人工智能等领域迅速发展，特别是高斯相关过程具有很好的可分析统计特性而广为采用。对于系统式（1）的响应x(t)，均值为零，协方差随时间差指数衰减，可用高斯相关过程g(t)直接模拟，其均值与协方差分别为

式中：E{·}表示期望运算。据此可构造高斯过程，其样本可基于标准高斯白噪声W(t)生成，即g(t)=s[W(t)]，其中s[·]是一个确定性函数，由协方差Rg(τ)决定。例如对指数衰减的协方差，可选择核函数[3]

式中：σc是偏差系数，tc是特征时间长度。则高斯过程的协方差Rg(τ)=hg(τ)，由其形成矩阵的奇异值分解与白噪声离散向量即得离散的高斯过程样本。核函数中的参数由协方差Rx(τ)拟合确定，使两者差的平方极小

响应样本可直接采用测量值，由此计算协方差Rx(τ)，用于确定核函数，这样更具有样本的针对性。总之由测量样本计算协方差，得到核函数，确定高斯相关过程，即得随机过程的直接概率模型，避免了复杂系统的确定性建模及其微积分运算。

上述过程也称为高斯过程回归，此后可用作未来状态的概率预测。例如离散的样本向量G=[g(t1)，g(t2)，…，g(tn)]T具有联合高斯分布，其概率密度为

式中：n是向量维数，CG是向量的协方差矩阵。概率模型的一个优点是可以随测量值的不断增加而更新，一方面可通过协方差Rx(τ)到核函数hg(τ)进行更新，另一方面可根据贝叶斯定理更新概率密度[4]

式中：p(xn+1|G)可由式（6）相应的x(t)的概率密度计算，分母项不影响G的分布。而基于样本向量的联合高斯分布特性可进行样本均值的概率预测，例如向量[GT，g(tn+1)]T的协方差由式（4）计算，则tn+1时刻的样本均值及其方差分别为[3]

式中：Cg*是g(tn+1)的方差，Cg*,G与CG,g*是向量G与g(tn+1)的协方差向量。具体计算可参考有关文献[3]。

3 数值结果

考虑随机激励的系统（1），无量纲参数为：m=1，c=2，k=10，白噪声激励的标准差为10。用龙格-库塔法计算系统响应，无量纲位移响应x(t)如图1所示。将其作为观测样本而取前部分，生成协方差Rx(τ)，按式（5）拟合得到核函数（4），如图2所示。其中参数σc=0.15，tc=0.29。从而确定高斯相关过程g(t)，其样本可基于标准高斯白噪声W(t)再生成，用于模拟原位移响应x(t)。图3展示了高斯过程的一个样本，其中仅包含1 000个样本点。当样本点很多时，涉及的奇异值分解矩阵运算将需要较大的内存与时间。由高斯过程g(t)进一步得到功率谱，图4展示了高斯过程的功率谱与位移响应的功率谱，总体上两者相吻合，某些局部有一定偏差，因所用样本点数有限，且噪声是模拟的，通过提高样本点数将可改善高斯过程，更接近理论特征。

图1 无量纲位移响应

图2 位移协方差

图3 高斯相关过程样本g(t)

图4 功率谱密度

4 结语

本文提出了针对动力学系统响应的、直接的随机过程新概率模型与评估方法，并进行一定的探索性研究。基于高斯白噪声激励动力学系统响应的统计特性分析，说明系统响应的高斯随机过程特性、响应在时间维度上的相关性、及其协方差随时间差的指数衰减特性等。发展了该系统响应的高斯相关过程概率建模与评估方法，先计算响应协方差，再据此拟合得到高斯过程的协方差或核函数，从而确定响应的高斯相关过程概率模型，由此直接生成样本过程，评估系统响应统计等。采用该高斯过程概率模型可避免复杂系统的确定性建模及其微积分运算等。同时给出高斯相关过程的贝叶斯更新与系统状态预测的一些基本公式。数值结果验证了该高斯相关过程的概率建模与响应评估方法的可行性与有效性。