基于响应面法的永磁电机转矩多目标优化

杜晓彬，黄开胜，谭耿锐，黄 信

(广东工业大学，广州 510006)

0 引 言

注塑机作为塑胶制品的主要加工设备，近年来不断发展，并由传统的以异步电动机拖动的机型逐步过渡到以永磁同步电动机(以下简称PMSM)来拖动[1-2]。相较于异步电动机，PMSM损耗较小，功率因数和效率较高，且控制性能良好。然而，在工业生产中，若注塑机存在较大的转矩波动，则会影响到生产产品的质量，导致产品合格率的下降；而在制成各种形状的塑料制品中，常常要求注塑机有较大的转矩输出。故对于注塑机用PMSM进行转矩优化很有必要。

当前电机设计中，主要从电机控制和电机本体设计两个方面对电机输出转矩进行优化。文献[3]从优化结构参数、温度场分析、机械应力分析方面入手，分析了槽口宽度、极槽配合、磁钢参数对转矩波动的影响。文献[4]采用有限元法，分析了极槽配合和磁钢参数对于纹波转矩和齿槽转矩的影响，结果表明，选择合适的磁钢参数和极槽配合能有效地降低齿槽转矩，抑制转矩纹波。文献[5]针对一款风机用PMSM转矩波动比较大的特点，采用不等磁钢厚度的方法，降低了转矩波动系数，使电机性能得到优化。文献[6] 提出一种通过将有限状态模型预测控制运用于无位置传感器的无刷直流电动机方法来抑制换相转矩脉动。

本文以一台36槽8极表贴式PMSM为对象，通过有限元仿真软件建立模型，为优化电机输出转矩，以磁钢厚度、偏心距、极弧系数为优化参数，对电机输出转矩的3个参数，即转矩波动系数、起动转矩值、输出转矩均值进行优化。采用了响应面法(以下简称RSM)中心组合设计(以下简称CCD)模型构建了样本数据组，并采用多元二次模型将实验样本数据和实验结果进行拟合，并求得其最优参数结果。通过有限元仿真软件检验该结果，证明了利用RSM能有效优化电机的输出转矩。

1 RSM实验设计流程

1.1 RSM数学模型

RSM是根据合理设计的实验方法，组成不同水平实验参数的配对组合进行实验，通过多元二维乃至多元高维的拟合回归方程对实验样本数据进行拟合回归，并根据方差分析的方法对拟合结果进行评价，以达到求得最优解的结果[7]。常用的RSM有Box-Behnken设计(以下简称BBD)、CCD与均匀外壳设计(以下简称USU)3种方法。相对于其他两种方法，CCD能将各因素的高水平安排在同一个组内，对因素和水平的组合具有广泛的适用性[8-9]，故本文采用CCD来进行优化。

图1CCD布点示意图

采用磁钢厚度、偏心距、极弧系数3个试验变量作为响应面的输入变量，转矩波动系数、起动转矩幅值、转矩均值为响应量，当输入变量在小范围内变化时，可以采用多元二维模型进行拟合，并且考虑变量交互作用，则拟合模型：

(1)

式中:β0为模型截距;β1i,β2i,β3i为模型系数;ε为模型误差;xi代表输入变量;f为响应量。

1.2 响应面最优解求解

通过最小二乘法对数据进行拟合，则拟合结果：

(2)

在响应面中，当逼近最优解时，响应面的曲率与实际模型的曲率误差很小，则模型中存在最优解的必要条件为响应函数的一阶偏导数为零。即：

(3)

则响应面的最优解：

(4)

2 PMSM模型建立以及响应面优化

2.1 PMSM初始模型建立及分析

本文采用36槽8极表贴式PMSM模型，相关初始参数如表1所示。利用ANSYS Maxwell 2D软件建立模型，仿真得到转矩波形，如图2所示。

表1 PMSM初始模型相关参数

图2初始模型输出转矩波形

由图2可知，起动转矩幅值Tm为808.24N·m，输出转矩均值Tavg为558.80 N·m，转矩波动系数按照如下公式计算：

(5)

式中:Tmax,Tmin为稳定下的最大、最小瞬时转矩。经计算，初始模型转矩波动系数为1.94%。

2.2 表贴式磁钢参数变化对PMSM性能的影响

相对于内置式磁钢，表贴式磁钢在PMSM中应用更为广泛，其优点是能使得气隙磁密更加正弦化，提高电机的性能[10]。在进行电机设计时，磁钢厚度、偏心距和极弧系数是磁钢结构的主要设计变量。

对于磁钢厚度来说，磁钢厚度过小会造成加工难度，且在极限工况下会造成磁钢的不可逆退磁，也会影响着起动转矩幅值和输出转矩效率[11-12]；若是采用过厚的磁钢，则会造成材料的浪费。故本文选取的磁钢厚度在4.1～4.5 mm之间。

对于偏心距和极弧系数来说，选择恰当的偏心距和极弧系数，能有效地降低齿槽转矩；同时使得气隙磁密拥有较大的正弦化，降低气隙磁密的谐波畸变率，对于转矩波动有抑制作用。故本文选取偏心距在18～22 mm范围内，极弧系数在0.6～0.85范围内。

2.3 RSM模型拟合回归及模型评价

根据CCD模型理论，选取各个因素变量的水平表如表2所示，实验组合安排以及实验结果如表3所示。

表2 实验因素水平表

表3 CCD实验安排及有限元仿真结果

采用有限元软件按照表3实验组进行仿真，由于在有限元软件ANSYS Maxwell 2D计算过程中采用自适应剖分，即在计算过程中不断根据计算结果进一步自动剖分，导致同样参数的PMSM模型剖分与计算结果有细微的差别，所以，实验组15～19结果会有细微不同。

仿真结果利用Design-Expert进行统计分析计算，采用多元二维的模型对实验结果进行拟合，并剔除不显著的变量后修正模型，则转矩波动系数Km，起动转矩幅值Tm，输出转矩均值Tavg，关于3个优化参数的最优模型：

Km=1.86+0.019x1-0.13x2-0.50x3+

(6)

Tm=823.31+20.17x1-7.65x2+45.35x3+

0.25x1x2+1.28x1x3-2.67x2x3+

(7)

Tavg=571.13+14.59x1-6.57x2+45.13x3+

0.14x1x2+1.13x1x3-2.72x2x3+

(8)

为评价模型的拟合程度，采用方差分析的方法对3个拟合模型进行评价，各项的显著性由P值判定。从表4、表5、表6可以看出，对于转矩波动系数Km，起动转矩幅值Tm和转矩均值Tavg的拟合模型P值皆小于0.05，说明模型拟合结果良好，具有统计学意义。3个模型拟失值的P值均大于0.05，说明拟合结果的误差较小，误差不显著。回归方程的校正决定系数可以在考虑自变量个数的影响下对模型的优劣进行评价，并且判定实验因素与响应之间关系是否显著。由Design-Expert统计分析结果显示Km，Tm，Tavg的校正决定系数分别为0.973 9，0.996 0，0.998 2，均大于0.9，实验因素与响应之间关系显著，模型充分表示实验因素与响应之间的关系。

表4 Km拟合模型方差分析

表5 Tm拟合模型方差分析

表6 Tavg拟合模型方差分析

由Design-Expert软件进行分析计算，可以得到模型的最优解：磁钢厚度4.5 mm，偏心距21.87 mm，极弧系数0.84。得到的PMSM最优结果：转矩波动系数Km为1.59%，Tm为874.08 N·m，Tavg为613.94 N·m。

3 有限元仿真分析

为了验证RSM分析得到的最优参数解，利用有限元软件ANSYS Maxwell 2D建立新模型，模型参数按照分析结果设置，考虑到实际工艺情况，磁钢厚度取值为4.5 mm，偏心距取值21.9 mm，极弧系数取值0.84。仿真结果如图3所示，可以看出，输出转矩波动明显减小了，为1.54%，且起动转矩的幅值增大，为873.08 N·m，输出转矩均值也有了一定的提高，为612.63 N·m。

图3优化前后模型转矩波形对比

4 结 语

本文研究了一种优化PMSM输出转矩的方法。针对影响电机输出转矩的参数变量，即磁钢厚度、偏心距、极弧系数，采用RSM与有限元相结合的方法，利用CCD模型，安排了实验水平的组合搭配，通过有限元仿真实验得到输出转矩的3个参数，转矩波动系数、起动转矩幅值和输出转矩均值作为响应量，构建变量与响应量的响应函数。通过方差分析对响应函数的合理性进行了评价，利用Design-Expert软件进行分析计算，得到最优解。结果表明，采用RSM与有限元相结合的方法能有效地优化PMSM的输出转矩，验证了该方法的准确性与可行性。