基于XFEM的加筋板动态裂纹扩展研究*

彭 英 杨 平 柯叶君 姜 伟

(武汉理工大学交通学院1) 武汉 430063) (高性能船舶技术教育部重点实验室2) 武汉 430063) (华中科技大学土木工程与力学学院3) 武汉 430074)

0 引 言

在极端恶劣海况以及碰撞、地震等突发事件中，船舶与海洋结构物所承受的环境载荷必须按动态载荷处理.加筋板结构作为船舶与海洋结构中的基本结构，由于其重量轻、结构效率高和止裂效果好等优点而被广泛应用.然而，由于焊接或应力集中，在加强筋与板相连的区域容易萌生裂纹.焊接结构由于其整体性，一旦产生裂纹，裂纹扩展将不受阻止直至整个构件断裂，因此，研究加筋板结构中的裂纹在动态载荷下的起裂、扩展和止裂是一项极具意义及挑战性的工作.

目前用于模拟裂纹扩展的方法较多，主要有：传统有限元法+自适应网格[1]、虚拟裂纹闭合技术(VCCT)[2]、节点力释放方法[3]及单元间内聚力模型[4]等，这些方法都具有一定的局限性，比如，伴随裂纹扩展必须不断进行网格重构、裂纹扩展路径必须预先给定、裂纹只能沿着单元边界扩展、计算成本偏高等.而扩展有限单元法(XFEM)[5-6]的核心思想是用扩充的带有不连续性质的形函数来代表计算域内的间断，在计算过程中对不连续场的描述可以完全独立于网格边界，因此，应用XFEM模拟裂纹扩展时，无需进行网格重构，并可模拟裂纹沿任意路径扩展.

本文基于XFEM，采用有限元软件ABAQUS对含裂纹加筋板结构的动态裂纹扩展过程进行了系列数值模拟研究，并分析了网格尺寸、加强筋高度和裂纹长度对裂纹扩展过程的影响，得到加筋板动态裂纹扩展的一些规律，可为实验及实际工程提供一定的参考依据.

1 基本理论

XFEM的基础是单位分解(partition of unity)，通过对标准近似场添加阶跃函数和裂尖函数两种扩充形函数以对未知场进行更精确的描述，见图1a).由于这种混合增强不易并入瞬态解法中，因此，在动态应用中为避免裂尖增强，使裂尖只在单元边界之间移动，即每次裂纹扩展都会贯穿整个单元，从而可以只采用阶跃增强函数描述不连续场，见图1b)，其位移场uh(x)可以表示为

式中：N为有限元网格所有节点的集合；ΦI(x)为标准有限元的形函数；uI为标准节点自由度；NΓ为被裂纹完全切断的单元节点的集合；H(x)为阶跃函数；aI为节点附加自由度.

图1 二维裂纹中节点扩充方案

2 含裂纹加筋板的有限元模型

选取文献[8]中的含裂纹加筋板作为本文的计算模型，板长a=3 400 mm、宽b=850 mm、厚tp=22 mm，筋高hw=250 mm、厚tw=25 mm.加强筋与板的材料相同，均为各向同性、线弹性，弹性模量E=205.8 GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3，最大主应力为84.4 MPa，临界应变能释放率GⅠc=GⅡc=GⅢc=42.2 N/mm.裂纹处于板的中间位置，并关于加强筋对称，其初始长度2c=250 mm.含裂纹加筋板横向受到拉伸三角形载荷p(t)作用，载荷峰值pm=100 MPa，持续时间t=1 ms，见图2.模型选用C3D8R单元，网格平均尺寸为25 mm，沿板和筋的厚度方向均布置2个单元，具体见图3.

图2 三角形冲击载荷

图3 含裂纹加筋板的XFEM模型图

裂纹面间的接触行为采用软件默认值，即切向无摩擦、法向“硬接触”.断裂准则主要包括损伤起始准则和损伤演化律，需要给定的参数有：最大主应力、临界应变能释放率、断裂准则因子的误差系数，以及黏聚裂纹黏性系数[9].图3的加筋板模型中裂纹为Ⅰ型裂纹，因此损伤起始准则采用牵引分离损伤法(damage for traction separation laws)的最大主应力准则(maxps damage)，断裂准则因子的误差系数取默认值0.05.损伤演化采用基于能量的、线性软化的、混合模式的指数损伤演化律(power law)，指数α=1.由于裂纹扩展问题属于强间断、强非线性问题，为了提高求解过程的收敛性，取黏性系数为5×10-5，并且增大迭代计算中允许的尝试步数和每步允许的迭代次数.此外，在模型输出定义中需要选定裂纹面水平集函数(PHILSM)及裂纹扩展状态参量(STATUSXFEM)，以在后处理中可以显示裂纹位置和扩展情况.

图4为加筋板内裂纹的扩展过程，图中的应力云图为von Mises应力，取变形比例因子为100.

图4 加筋板内裂纹的扩展过程图

由图4可知，加筋板右端受冲击载荷作用后，应力波从右端逐渐向左端传播，当时间t=0.535 56 ms时，裂纹首先向加强筋中开始扩展，起初裂纹扩展较慢，几个时间步长裂纹才能向前扩展一个单元，长度约为25 mm；当时间t=0.552 58 ms时，裂纹在板中同时向两端各扩展一个单元；当时间t=0.696 75 ms时，裂纹同时向加强筋和板中各扩展一个单元；在时间t=0.733 37 ms之后，裂纹扩展速度明显加快，几乎每个时间步长裂纹都在板与加强筋之间交替扩展；在时间t=0.845 04 ms时，裂纹向加强筋中扩展一个单元，之后裂纹停止扩展.

3 影响参数分析

针对图3中的计算模型，采用XFEM计算不同的网格尺寸、不同的加强筋高度和不同的裂纹长度下的裂纹扩展过程.每次只研究单一因素的影响，其他参数保持不变.

3.1 网格尺寸的影响

在ABAQUS软件中，XFEM计算动态裂纹扩展时并未引入裂尖增强函数，每次裂纹扩展都会贯穿整个单元，为避免因单个时间增量步裂纹扩展距离过大而导致计算误差，需要验证网格尺寸对计算结果的影响.分别选取粗、中、细三种网格进行分析，具体网格尺寸见表1.

表1 网格尺寸、裂纹扩展单元数、t1及t2

图5为不同网格尺寸下裂纹开始扩展和停止扩展时的von Mises应力云图，裂纹开始扩展的时间t1、停止扩展的时间t2，以及扩展的单元数分别列于表1中.对比图4和表1可知，随着网格加密，裂纹开始扩展的时间提前，停止扩展的时间推迟，裂纹扩展长度逐渐减小，并且在板中扩展长度的差别比加强筋中的大，但是裂纹扩展的趋势基本相同，都是首先往加强筋中扩展，其后在板中同时向两端扩展，如此在筋板中交替扩展(有时又会在筋板中同时扩展)，直至最终停止扩展.对于本文中的算例，取中等密度网格，即平均尺寸为25 mm，所描述的裂纹扩展过程与细网格已十分接近，其计算结果是可以接受的.

图5 不同网格尺寸下裂纹开始及停止扩展时的应力云图

3.2 加强筋高度的影响

为了说明加强筋对板中裂纹扩展的影响，保持平均网格尺寸25 mm不变，分别取加强筋高度hw=200，250，300 mm进行计算.图6为不同加强筋高度下裂纹开始扩展和停止扩展时的Von Mises应力云图，裂纹开始扩展的时间t1、停止扩展的时间t2以及扩展的单元数见表2.

表2 裂纹扩展单元数、t1及t2(ms)(不同筋高)

图6 不同筋高下裂纹开始及停止扩展时的应力云图

由图4和表2可知，随着加强筋高度的增加，裂纹开始扩展的时间延迟，并且裂纹在板中扩展的单元数明显减小，说明加强筋可以有效地减弱板上裂纹尖端的应力集中，加强筋越强，越有助于提高板的抗裂性能.

3.3 裂纹长度的影响

分别取初始裂纹长度2c=150，250，350 mm，计算具有不同长度的裂纹在冲击拉伸载荷下的扩展过程，图7为不同裂纹长度下裂纹开始扩展和停止扩展时的von Mises应力云图，裂纹开始扩展的时间t1、停止扩展的时间t2，以及扩展的单元数见表3.对比图4和表3可知，随着裂纹长度的增加，裂纹开始扩展的时间提前，并且裂纹扩展的单元数明显增加.当2c=350 mm时，在时间t=0.835 90 ms时板上裂纹发生贯通.说明增大裂纹长度，裂纹尖端的应力集中会随之增大，在同样的载荷条件下裂纹更容易发生扩展，甚至发生贯通，这在实际工程结构中是相当不利的.

图7 不同裂纹长度下裂纹开始及停止扩展时的应力云图

2c/mmt1/mst2/ms150340.599 990.842 89250660.535 560.845 043501060.511 070.835 90

4 结 论

1) XFEM可以在规则网格上模拟裂纹沿任意路径扩展而无需对模型进行网格重构，处理断裂问题具有极大优势.

2) 在动态裂纹扩展过程中，每次裂纹扩展都会贯穿整个单元，随着网格加密，裂纹开始扩展的时间提前，停止扩展的时间推迟，并且裂纹扩展的长度逐渐减小，但裂纹扩展的变化趋势基本相同.

3) 对于含裂纹加筋板结构，由于加强筋对板的约束作用，裂纹开始扩展的时间随加强筋高度的增大而延迟，并且裂纹在板中扩展的单元数明显减小.

4) 裂纹长度对动态裂纹扩展具有显著影响。随着裂纹长度的增加，裂纹开始扩展的时间提前，并且裂纹扩展的单元数明显增加，甚至在板中裂纹会发生贯穿.