学会用数学方法破解物理问题

甘肃

马克思曾说过：“一切科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”《考试大纲》中也有明确的阐述：“要求学生能根据具体问题列出物理量间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形及函数图象进行表达、分析，能进行正确的数学运算。”数学方法是研究物理问题、进行科学抽象和逻辑推理的重要工具，而且运用数学方法解决物理问题会使过程严密、逻辑严谨、关系明确，避免产生错误。在高考物理试题中，数理结合问题往往成为考查学生综合能力与素质的重要题型。因此，学会将物理问题转化为数学问题以及运用数学方法进行推理计算的能力是学好高中物理的必备能力之一，必须得到足够的重视和不断的培养。

一、利用函数思想解决物理图象问题

【例1】一物体沿斜面从静止开始向下运动，经过时间t0滑至斜面底端。已知在物体运动过程中物体所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分别表示该物体所受的合力、物体的速度、位移和机械能，则下列图象中可能正确的是

( )

A

B

C

D

【答案】AD

【点评】物理图象题型几乎是每年高考必考点。物理图象其实质就是利用“图象”这一数学工具来反映某一物理量与另一物理量之间的函数关系，也就是说每一个物理图象都是与一种函数关系相对应。因此，解决物理图象问题关键就是要学会运用函数思想，推理得到纵轴物理量与横轴物理量之间的函数关系，才能正确的判定物理图象。基本方法是先根据题目所给定的物理过程，准确找出所遵循的物理规律和成立的物理关系，然后推理得出纵轴物理量与横轴物理量之间的函数关系，最后根据函数性质确定正确的图象。这种方法逻辑性强、有理有据，不易出错。

二、利用图象解决运动问题

【例2】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。

【解析】先作A、B两车的v-t图象，如图1所示，设经过t时间两车刚好不相撞。

图1

对A车有vA=v′=v0-2at

对B车有vB=v′=at

经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x，可用图中的阴影部分面积表示，由图象可知

【点评】利用物理图象也就是利用数学工具解决物理问题是一种行之有效的方法。图象法解决物理问题可以使问题简洁、直观，更为重要的是可以简化运算过程，使解题过程简洁明了。在运用图象解题的过程中，必须准确把握图象的斜率、截距、交点、面积、临界点等几个要点。

三、利用不等式解决物理最值问题

【例3】如图2所示，一平直传送带以速度v=2 m/s匀速运动，在传送带的A处把工件无初速度地放在传送带上，经过时间t=6 s，能传送到B处。欲用最短的时间把工件从A处传到B处，已知A、B相距L=10 m。求工件最短的运行时间及传送带的运行速度。

图2

匀速运动过程中，有x2=vt2

从A到B过程中，有t=t1+t2且L=x1+x2

联立以上各式解得t1=2 s，a=1 m/s

设用最短时间把工件从A处传到B处时，传送带的速度为v′。

工件先匀加速后匀速运动时，有

或者：由基本不等式可得

即最短时间为

四、利用归纳思想解决重复性问题

【例4】一倾角为θ=45°的斜面固定于水平地面，斜面顶端离地面的高度h0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m=0.09 kg的小物块(视为质点)。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g=10 m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

图3

【解析】设小物块第1、2、3、…、n次与挡板碰撞后的速率分别为v1、v2、v3、…、vn，则有

解得第1次碰后的速率为

设小物块第1次与挡板碰撞后沿斜面向上运动的最大距离为s1，从上升到返回的过程中，根据动能定理有

同理，可得第3次碰后的速率为

……

在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，根据动量定理有

I=2m(v1+v2+v3+v4)

根据等比数列求和，有

I=2m(v1+v2+v3+v4)

=2mv1(1+q+q2+q3)

【点评】通常情况下，重复性物理过程都具有一定的规律性，推理得出其遵循的规律性关系是解决问题的关键，而数学归纳法正是寻找其规律最快捷有效的方法。基本步骤有：①根据题意，分析物理过程中的规律性变量，并找出遵循的物理规律或物理关系；②依次找出第1、第2、第3状态下各物理量的关系；③验证一般情况下，各物理量间的关系；④确定第n状态下的通式；⑤根据题目要求求出物理量，通常会用到等差数列求和、等比数列求和。

五、利用几何方法推断物理关系

图4

( )

A.弹簧对小球的弹力一直增大

B.弹簧对小球的弹力先减小、后增大

C.MN杆对小球的弹力一直增大

D.MN杆对小球的弹力先增大、后减小、再增大

图5