基于“问题串”的高中函数教学策略

林建森

[摘   要]函数问题向来是高中数学的学习难点，需要使用科学的教学方案优化教学.设计“问题串”是优化教学的途径之一.

[关键词]问题串;高中函数;教学策略

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）17-00021-02

函数问题向来是高中数学的学习难点，通过设计“问题串”能优化函数教学，提高函数教学效率.

一、“问题串”教学模式概述

“问题串”是基于核心教学内容，使用具有逻辑结构的一连串问题（3至5个问题）进行分析，让学生能够在学习过程中由浅入深地了解核心知识，以便更好地应用.该方法能有效整合学生的认知，促使学生在问题解决过程中及时与教师进行反馈，进而解决不同的数学问题，帮助学生培养良好的数学思维习惯.另外，该教学方式能够锻炼学生的逻辑思维能力，有利于学生数学素养的全面提升.

二、函数教学策略

（一）函数单调性教学

函数单调性内容通常会涉及递增或递减，仅通过理论对函数问题进行理解，不能将单调性问题进行全面讲述.因此，教师在二次函数的单调性的拓展中，可以引入“问题串”，以便于学生理解，促使学生充分理解函数图像与函数单调性之间的关系.

例如，在《函数的模型及其应用》的教学中，教师可以引出“问题串”.

问题1：假设有函数[y1=x2]和[y2=x]，观察[y1=x2]和[y2=x]两个函数，有哪一部分满足[y1y2]，分析这两个函数的增长趋势.

分析：通过这两个函数的图像可以看出，两函数均与原点存在交点.当[x<0]时，存在[y1>y2];当[x=0]时，存在[y1=y2];当[x>0]时，存在[y1

问题2：若存在两个具体自变量的值[a]、[b]，且[a

分析：题设中没有规定[a]、[b]的取值范围，也没有规定[a]、[b]是否均为正数或负数.因此不能判断函数是递增的.如：函数[y=5x2-3x]中存在[a]、[b]，其中[a=-2]，[b=3]，由此看出[a

问题3：假设[x∈a，b]，且[x]存在無数个值，即[x1

分析：该问题是问题2的引申，其核心是对于抽象问题的特殊化处理.其证明方法同问题2，都是通过列举反例的方法，列举出“特殊化”的实际问题，进而引导学生自主推导，需要根据函数[f（x）]的定义域对两数进行取值，并结合实际函数图像进行分析，最终引导学生对函数单调性的中“任意”两字有全面了解.

通过以上问题的提出，促使学生在函数的图像中作出“任意”两点，并分析这两点之间[y]值的大小，促使学生能够在学习函数模型的过程中对增函数的定义和减函数的定义进行比较.即若函数在区间内的图像是上升趋势，可以得到函数中x的取值随着图像增长而增长，此时便可以得出若[x1

问题4：假设[x1=1，x2=2]为函数[f（x）=x5-253x3+20x+1]的两个极值点，求[f（x）]的单调区间.

分析：高阶函数需要使用导数的方法求解其单调区间，主要思路是将高阶函数转化为低阶函数，并结合图像进行观察.

[f（x）=x5-253x3+20x+1]的导数为[f（x）=5x4-25x2+20=5（x2-1）（x2-4）=5（x+2）（x+1）（x-1）][（x-2） ].

结合函数图像可以分析出：

[x∈（-∞，-2）?（-1，1）?（2，+∞）]，[f（x）>0];

[x∈（-2，-1）?（1，2）]， [f][（x）<0].

那么可以依据导数的内容判断出：函数在[（-∞，-2）] [? （-1，1）?（2，+∞）]三个区间单调递增;在[（-2，-1）] [? （1，2）]区间内单调递减.

（二）三角函数的教学

在《函数[y=Asin（ωx+?）]的图像变换》的教学中，教师可以对三角函数的定义进行讲述，并讲述振幅[A]、[T=2πω和 f=1T]的内涵，然后通过构建三角函数的教学情境，利用教学软件的表现方法进行展示.

问题1：已知函数[y=sinx]，若将函数向右平移[π6]个单位，那么该函数的解析式是什么？

分析：该问题基于对三角函数图像的了解，引导学生利用三角函数图像平移的性质，即[y=sinx]的图像向左平移φ个单位或向右平移φ个单位（[φ<0]），得到[y=sin（x+φ）]图像.那么，上述函数的解析式为[y=sinx-π6 ].

问题2：已知函数[y=sinx]，怎样变换可以得到函数[y=sin2x-π6]？

分析：该问题需要分为两步.第一步，将函数[y=sinx]变换为[y=sin2x]，变换方法为将函数[y=sinx]横坐标参数缩减[1ω]，即可得到[y=sinωx]图像.在该题中，需要将[y=sinx]变为[y=sin2x].故函数的横坐标缩减了[12 ].第二步，将[y=sin2x]变为[y=sin2x-π6]，即向右平移[φω=π62=π12]个单位，最终得到问题的答案.

问题3：已知函数[y=sin2x-π3]，如何通过平移变换得到[y=sin2x-π4]？

分析：三角函数平移的核心是将[y=sinx]的原始函数作为中介参数，并进行系统的平移变换.[y=sin2x-π3=sin2x-π6→y=sin2x-π4=sin2x-π8]向右移动[π6-π8=π24]单位而得到.

通过以上问题，促使学生能够在软件操作中了解[A]、ω、φ参数与平移的关系（[A]的变化即原函数的纵坐标变为[A]倍），并结合绘图软件与理论的整合操作，促使学生能够很快地掌握三角函数的变化规律.最后，教师需要对三角函数的图像性质进行讲述，引导学生在不同问题的分析过程中得到基本结论，提高学生的数学能力.

（三）函数“系数”的教学

在复习有关用待定系数求解函数解析式的内容中，教师需要系统地讲述一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数的相关知识，可通过“问题串”进行展示.

问题1：函数[y=kx（k≠0）]过点[A]（1，4），则该函数的解析式为 .

分析：引导学生回顾有关正比例函数的知识，通过将A点代入正比例函数，求出[k]值，即[4=k×1]，所以[k]=4，那么该函数解析式为[f（x）=4x].

问题2：函数[y=kx（k≠0）]过点[A]（1，4），则该函数的解析式为 .

分析：主要引导学生对反比例函数的基本形式[y=kx（k≠0）]和[k=xy（k≠0）]进行了解，并将点[A]代入，求出[k]值，即[k=1×4=4]，该函数解析式[y=4x].

问题3：函数[y=kx+b（k≠0）]过点[A]（1，4），则该函数的解析式为 .

问题4：函数[y=ax2+bx+c]过点[A]（1，4），则该函数的解析式为 .

分析：在对问题3、问题4的问题探索中，学生发现仅将点A代入函数解析式，不能直接求解未知参数的值.此时需要提出“待定系数”.如，在问题3中加入条件：函数也经过点B（2，3）.那么可以转化为[k+b=42k+b=3]的方程组，解得k=-1，b=5.故问题3的函数解析式为[y=-x+5].对于问题4的函数解析式求解，学生发现仅添加一个条件不能解决解决三元一次方程组，因此还需要添加一个条件，如条件“[c=0]”.那么可以将其转化为[c=0，a+b+c=4，4a+2b+c=3，]解得[a=-52]，[b=32] .那么问题4的函数解析式为[y=-52x2+32x].

“问题串”教学的有效拓展能够促使学生将未知知识与已知知识进行整合，促使学生从不同的角度进行数学问题的理解，进而使学生的数学思维、数学分析与运用能力得到有效提升.同时，该方法能够体现学生的主体地位，彰显自主探索为中心的价值，促进学生数学核心素养的提高.

[  参   考   文   獻  ]

[1]  孙静.高中数学“问题串”教学的实践研究[D].石家庄：河北师范大学，2016.

[2]  晏华东.数学课堂“问题串”教学模式的研究[J].新课程（中学），2016（3）：368-369.

（责任编辑   黄桂坚）