直线的一般式方程的归纳与应用

王念念

[摘   要] 直线的一般式方程是求解直线问题的核心知识点，明确其几何意义及其性质，掌握其与特殊直线方程之间的互化，是解决直线方程问题的关键.

[关键词]直线方程;一般式方程;归纳;应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）17-0032-02

在平面直角坐标系中，任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A，B不同时为0）叫作直线的一般式方程，简称为“一般式”.

一、直线的一般式方程的归纳

1.直线的一般式方程的几何意义

（1）当B≠0时，[-AB=k]（斜率），[-CB=b]（y轴上的截距）;

（2）当A≠0时，[-CA=a]（x轴上的截距）;

（3）在一般式方程Ax+By+C=0中，①若A≠0，B=0，则[x=-CA]，它表示一条与y轴平行或重合的直线;②若A=0，B≠0，则[y=-CB]，它表示一条与x轴平行或重合的直线;③若A=B=0，则有C=0，不表示任何直线.

2.直线方程的一般式、斜截式与截距式的互化

[一般式 斜截式 截距式 Ax+By+C=0（A，B不同时为0） [y=-ABx-CB]（B≠0） [xCA+yCB=1]（A、B、C≠0） ]

3.两个重要结论

结论1：在平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）来表示.

结论2：任何关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0）都可以表示平面直角坐标系中的一条直线.

解题时，若无特殊说明，则应把求得的直线方程化为一般式.

4.直线的性质

当直线方程Ax+By+C=0的系数A、B、C满足如下关系时，这条直线有以下性质.

（1）当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴都相交;

（2）当A≠0，B=0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直;

（3）当A=0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直;

（4）当A=0，B≠0，C=0时，直线与x轴重合;

（5）当A≠0，B=0，C=0时，直线与y轴重合.

二、直线的一般式方程的应用

1.直线方程的互化

[例1]设直线l的方程为[（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）] .

（1）若直线l在两坐标轴的截距相等，求直线l的方程;

（2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.

解析：（1）当a=-1时，显然不满足题意，故a≠-1.

将直线化为截距式后，可得直线l在x轴上的截距是[a-2a+1]，在y轴上的截距是a-2，∴[a-2a+1=a-2]，解得a=2或a=0，∴直线l的方程为[3x+y=0]或[x+y+2=0].

（2）直线l可化为[y=-（a+1）x+a-2]，

由已知得[-（a+1）>0，a-2≤0，]或[-（a-1）=0，a-2≤0，]

∴[a≤-1].

点评：根据解题要求，有时要灵活地将直线的一般式方程转化为斜截式、截距式等特殊方程，并注意特殊情况.直线方程作为结论要化为一般式，其化法是对方程移项、化简，并整理为二元一次方程Ax+By+C=0的形式.

2.直线的一般式方程中系数的几何意义的应用

[例2]设直线l的方程为[（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6]，根据下列条件分别确定m的值.

（1）直线l在x轴上的截距是-3;

（2）直线l的斜率是-1.

解析：（1）由题意，得[m2-2m-3≠0，①2m-6m2-2m-3=-3，②]

由①得m≠-1，且m≠-3;

由②得m=3或[m=-53]，所以[m=-53 ].

（2）由题意，得[2m2+m-1≠0，③m2-2m-32m2+m-1=-1，④]

由③得m≠-1，且[m≠12];

由④得m=-1或m=-2，所以m=-2.

点评：关于直线的一般式方程中系数的几何意义是直线方程问题的重点，解题时首先要确定使问题成立的各系数的正确条件，如A≠0、B≠0、A=0、B=0等关系，然后根据题目已知条件列式求解.

3.求直线的一般式方程

[例3]已知直线l的方程为[3x+4y-12=0]，求直线l[′]的方程，使l[′]满足：

（1）过点（-1，3），且与l平行;

（2）过点（-1，3），且与l垂直;

（3）l[′]与l垂直，且l[′]与两坐标轴围成的三角形面积为4.

解析：（1）由l[′]与l平行，可设直线l[′]的方程为[3x+4y+m=0]（m≠-12），将点（-1，3）代入得m =-9.得所求直线方程为[3x+4y-9=0].

（2）由l[′]与l垂直，可设直线l[′]的方程为[3x+4y+n=0]，将点（-1，3）代入得n =13.得所求直线方程为[3x+4y+13=0].

（3）由l[′]与l垂直，可设直线l[′]的方程为[3x+4y+p=0]，则直线l[′]在x轴上的截距为[-p4]，在y轴上的截距为[p3]，由题意可知，围成的三角形面积[S=12p3?-p4=4]，解得[p=±46]，∴l[′]的方程为[3x+4y+46=0]或[3x+4y-46=0].

点评：利用平行与垂直巧设直线的一般式方程是解决此类问题的常用方法.即与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0（C≠C1），再由其他条件列方程求C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx+Ay+C2=0，再由其他条件列方程求C2 .

4.两直线的垂直与平行

[例4]已知直线l1：[ax-by+4=0]和直线l2：

[（a-1）x+y+2=0]，分别求满足下列条件的a、b值.

（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1和直线l2垂直;

（2）直线l1和l2平行，且直线l1在y轴上的截距为-3.

解析：（1）由已知得[a（a-1）-b=0，（-3）a-（-1）b+4=0，]

解得a=2，b=2.

（2）由已知得[a+b（a-1）=0，4b=-3，]

解得a=4，[b=-43].

点评：关于两直线垂直的解法可归纳为：（1）斜率存在时，两直线垂直的条件为[k1?k2=-1];（2）一般式方程下，两直线垂直的条件为[A1?A2+B1?B2=0];（3）在斜截式方程中，在能判斷斜率存在的情况下，用条件（1）;在一般式方程，特别是含有字母系数且斜率可能不存在的情况下，用条件（2）.关于两直线平行的解法可归纳为①[l1：y=k1x+b1]，[l2：y=k2x+b2]，[l1∥l2?k1=k2]，且b1≠b2;②[l1：  A1x+B1y+C2=0]，[l2：    A2x+B2y+C2=0]，[l1∥l2?A1B1-A2B2=0]，且[A1?C2-A2C1≠0]（或[B1?C2-B2C1≠0]）.

（责任编辑   黄桂坚）