基于多项式统计的舰船传感器偏差估计算法

(中国船舶工业系统工程研究院,北京 100094)

0 引言

现代水面舰艇根据作战任务的需求，通过配置多种传感器对海空目标进行协同探测，力图实现复杂环境下对海空目标的准确探测和稳定跟踪。由于舰船传感器系统是基于多源传感器与多源目标的系统，在复杂实战环境下多种传感器对掠海飞行目标的探测精度是关系整个防空反导作战成败的重要影响因素。传感器偏差作为评价和衡量探测精度的关键值，因此具有一定的估计必要性。尽管已经有相关文献提出进行偏差估计和补偿的具体方法，但这些方法仍面临包括目标加速度变化、时变偏差和间断航迹等诸多问题。特别地，传感器可能无法为融合中心提供重要的本地航迹信息，比如本地航迹的卡尔曼增益和关联协方差矩阵等[1]。另外，这些方法需要传感器滤波器及其动态模型的精确知识[2]。

本文提出一种新的多项式统计算法，用于解决上述问题。该算法的偏差估计首先选取高测量精度和高数据率的传感器作为参考传感器，并采用对参考传感器测量值进行最小方差多项式拟合生成参考轨迹，再通过统计分析其他传感器测量值与参考轨迹的残差，最后通过假设检验验证偏差估计结果。

本文结构如下：在第1节中讨论偏差模型和偏差估计方法论；多项式统计算法在第2节中给出；第3节通过仿真结果展示算法性能；在第4节中通过实际舰船测量真实无人机数据来验证算法。最后结论在第5节中讨论。

1 偏差模型和偏差估计方法论

假设有M个传感器为舰船提供N个目标在极坐标系下的距离、方位和俯仰测量值。从2D模型[3]扩展得到，传感器s对目标在时间t时极坐标系下的测量模型为:

s=1,…,M

(1)

从Weierstrass逼近定理可知，如果是在区间[a,b]上的连续实函数，且给定任意ε>0，存在一个多项式p在[a,b]上，使得对于所有的s∈[a,b]，|f(s)-p(s)|<ε。换句话说，任何闭区间上的连续函数都能被该区间上的多项式一致近似成任意精度[5]。

假定测量参数能被表达为L阶多项式:

(2)

当cj,j=0,…,L是L阶多项式系数，而e(t)是加性误差项。因此速度参数可被表示为:

(3)

2 多项式统计算法

2.1 传感器位置修正

传感器发送的目标航迹是以传感器探测设备中心为坐标原点的。因为不同传感器安装位置的不同，不同传感器的目标信息使用不同的坐标原点，因此需要将不同传感器的目标航迹数据修正到统一的坐标系下，才能进行传感器的相对精度和比较传感器间的偏差的计算。

若计算时使用的坐标系假设为：平面直角坐标系(即x、y和z坐标系)中，x朝东，y朝上，z朝北；极坐标系(即距离、方位、俯仰)中，方位正北为0°，俯仰水平为0°。

传感器探测设备中心相对于船体位置固定，所以在船的不同运动姿态下，传感器中心位置在平面直角坐标系下的位置是不同的。所以需要传感器中心位置的坐标从物体坐标系(模型坐标系)转换到惯性坐标系(正北方向角为0°)。

假定船的姿态信息包含艏向角h、纵摇角p和横摇角b，则转换矩阵M如下:

(4)

(5)

(6)

M=B·P·H

(7)

从物体坐标系向惯性坐标系的转换公式如下，其中Vinertial为惯性直角坐标系下传感器位置，Vobject为物体直角坐标系下的传感器位置:

Vinertial=Vobject·M

(8)

则Vinertial作为目标航迹点在传感器位置的修正值。

2.2 参考航迹计算

获取不同传感器目标航迹信息后，选取高精度高数据率低偏差的传感器作为参考传感器。选取参考传感器的连续30～50个航迹点作为参考航迹序列，分别对距离、方位和俯仰等三个参数，采用最小二乘法做多项式拟合参考航迹。该参考轨迹作为推定的目标航迹，由于参考传感器存在探测精度问题，所以采用拟合计算而不是插值计算。

2.2.1 方位归一化

由于目标方位信息在正北方向的附近区域，即方位角为0°附近时，存在数据不连续问题。所以需要对方位信息进行过零点归一化处理，算法如下：

min = min(bi)

max = max(bi)

if(max-min >π)

pre_b =b1

forjin 1…n

if (bj> min +π)

bj=bj- 2π

Δb=bj-prev_b

While (|Δb|>π)

bj=bj- 2π

Δbprev= Δb

Δb=bj-prev_b

If(|Δb|>|Δbprev|)

bj=bj+ 2π

exit while loop

end while loop

pre_b =bj

end loop overj

2.2.2 多项式拟合

为了提升参考轨迹的数值精度，需要在航迹拟合中使用参考时间timereference，假定timei表示用于构建参考轨迹的航迹序列中的时戳:

(9)

拟合的参考轨迹多项式为:

(10)

其中:cj为参考轨迹多项式系数，timereference为参考时间，nfit为拟合多项式的阶数。

在多项式拟合过程中，使用Cholesky分解方法去求对称正定矩阵的逆阵。对称正定矩阵A可以分解为A=L·LT，其中矩阵L是下三角矩阵。该分解方法具有更大的数值稳定性，因为Cholesky分解有效地减少动态范围。

2.3 残差计算

为计算各传感器的精度和偏差，需要首先计算各传感器探测点相对于参考轨迹的残差。则各传感器距离、方位和俯仰等参数的残差计算为:

(11)

传感器s参数p残差的均值，即传感器s参数p的估计偏差，计算为:

(12)

传感器s参数p残差的样本标准差，即传感器s参数p的估计精度，计算为:

(13)

传感器s参数p的归一化残差为:

(14)

2.4 参考轨迹检验

采用拟合方式推断参考轨迹可能会产生过拟合和欠拟合的结果，而导致参考轨迹无效。因此需要使用Komolgorov-Smirnov假设检验和卡方假设检验方法，通过判断各传感器残差是否符合正态分布，来检验参考轨迹是否有效。

2.4.1 Komolgorov-Smirnov检验方法

K-S检验将样本分布和期望分布作比较，根据给定接受水平判断样本分布是否无效。χ2检验使用有序归一化残差ξ**。

从样本数据计算样本累积分布为:

(15)

即对任何ξ**的累积概率为其排序位置除以样本总数。

2.4.2 卡方检验方法

χ2检验样本分布和期望分布的一致性。χ2检验使用有序归一化残差ξ**，将样本序列划分为离散区间，并将区间内的样本数量与期望分布的数量作比较。χ2估计值计算为:

(16)

2.5 评估传感器间偏差

节2.3中已计算获得各传感器的距离、方位和俯仰残差序列的均值和标准差。参考传感器的距离、方位和俯仰残差理论均值应为0，其它设备计算残差的均值即为计算偏差值。使用Student t检验来评估不同传感器与参考传感器之间在距离、方位和俯仰等方面是否存在偏差。

对于距离、方位和俯仰参数，分别计算Student t统计:

(17)

采用一对标准t分布值做假设估计，评估计算参数是否存在偏差，评估条件如下：

tp>Tn1参数p有偏差

tp≤Tn2参数p无偏差，

Tn2

其中：

Tn1为无偏差概率0.001的t表查询值

Tn2为无偏差概率0.01的t表查询值。

3 仿真结果

首先使用仿真方法为验证该算法的有效性。采用模拟的两台传感器进行仿真计算，设定高精度传感器的距离、方位和俯仰的精度分别为30 m、0.2°和0.2°，无探测偏差。低精度传感器的距离、方位和俯仰的精度分别为50 m、0.3°和0.3°，有探测偏差。

模拟2个目标运动分别选用匀速直线运动和加速直线运动目标，通过在仿真的航迹数据上增加不同标准差(精度)和均值(偏差)的正态分布产生两组模拟的航迹。如表1和表2所示，第一组航迹具有显著偏差，第二组航迹具有不显著偏差。

仿真数据组1，设置的低精度传感器距离、方位和俯仰偏差分别为100 m、1.5°和1.5°。验证结果如表1。t检验结果表明两传感器在距离、方位和俯仰均有偏差。算法验证计算出的偏差和精度与设定值基本一致。

表1 仿真数据组1精度偏差计算结果

仿真数据组2，设置的低精度传感器距离、方位和俯仰偏差分别为5 m、0.05°和0.05°。验证结果如表2。t检验结果表明两传感器在距离、方位和俯仰均无偏差。算法验证计算出的偏差和精度与设定值基本一致。产生此结果的原因，是因为设置的偏差相比于传感器本身的测量精度太小。

表2 仿真数据组2精度偏差计算结果

通过上述仿真分析，证明该方法能有效评估传感器精度，并验证传感器间偏差。

4 无人机数据验证

该算法通过舰船雷达三次实际探测无人机飞行测量数据得到进一步验证。由于目标无法做严格规则运动，且雷达本身具有测量无法使得无法获取目标真实运动航迹。所以雷达航迹即默认目标真实运动轨迹，通过在雷达航迹上添加额外的正态分布的残差来获取另一组假定的传感器航迹。比对计算雷达航迹数据和假定的传感器航迹数据，验证算法的有效性。假定的传感器数据所上加上的正态分布，该正态分布均值即为测量偏差，而其标准差即为测量误差。距离、方位和俯仰的残差均值(即测量偏差)分别为50 m、0.3°和0.3°，其残差标准差(即测量误差)分别为40 m、0.2°和0.2°。

无人机航线1以近似匀速直线运动；无人机航线2近似直线运动但在飞行末段盘旋；无人机航线3开始做直线运动，但在飞行中段开始近似随机运动。计算结果在表3、4和5中表示。

表3 无人机航线1的偏差精度结果

无人机各航线的距离偏差和精度的估计结果如图1和2所示。根据t假设检验说明两传感器存在偏差，该算法能有效评估传感器偏差。表3-5给出算法计算的加误差航迹的距离、方位、俯仰的偏差、精度结果。经过比较，该结果的偏差计算结果与加误差航迹添加的正态分布均值基本一致。但对加误差航迹的传感器精度估计，算法评估效果与无人机航迹的规则程度相关，且随拟合多项式阶次的提升精度估计值不断下降。进一步分析表明，多项式拟合阶次应选择为7，此时距离、方位、俯仰的精度估计最一致。可见当多项式阶次过大时，参考航迹的过拟合将导致比对数据的精度计算结果误差明显较大。

表4 无人机航线2的偏差精度结果

表5 无人机航线3的偏差精度结果

图1 距离偏差估计结果

图2 距离精度估计结果

5 结语

本文针对舰船传感器偏差估计问题，提出了一种基于多项式统计的舰船传感器偏差估计算法。通过仿真数据和无人机探测数据验证，该方法可有效获取舰船传感器探测偏差和精度，并提供传感器间偏差异常定位，辅助舰艇指挥员判断传感器的性能和可用性。