一种外LET柔顺半铰的动力学建模与分析

李鹏飞 曹博宇 汪振宇 赵 晨 赵荣昌

西安理工大学机械与精密仪器工程学院，西安，710048

0 引言

柔顺机构利用机构中的柔性组件的变形来传递和转化机构的运动、力和能量，它具有较高的传动精度，不存在运动副间隙引起的摩擦、磨损、冲击，已广泛应用在医疗、微精密机械、航空航天等领域。在柔顺机构的设计中，寻找合适的柔顺铰以满足机构在运动过程中所需的力-变形特性是一个难题。

不同于传统刚性机构中的铰链，柔顺机构中的柔顺铰作为一类核心组件，它的结构形式直接影响柔顺机构的性能。早期的柔顺铰主要利用材料的厚薄、粗细、宽窄、长短的变化来改变该铰的柔性，例如椭圆型和直角型柔顺铰[1]、直角缺口型柔顺铰以及圆弧缺口(双曲线、椭圆曲线、圆弧曲线、抛物线等)型柔顺铰[2-5]等。这类柔顺铰的结构相对简单且易于加工，常应用于单一运动状态(纯拉压、弯曲、扭转)的场合。但是，实际应用过程中柔顺铰常常承受复合受力状态，以上种类柔顺铰很难满足使用要求，并且容易产生疲劳甚至断裂等。针对以上情况，文献[6]设计了一种外LET柔顺铰和内LET柔顺铰。这两种柔顺铰的拉压、弯曲、扭转分散在该铰的不同柔性部分。文献[7]设计了在拉压载荷条件下产生最小寄生运动的3种柔顺铰。文献[8]介绍了多曲梁柔性铰、交叉簧片柔性铰、剪式柔性铰等。在这些柔顺铰中，文献[6]设计的柔顺铰可承受复合受力状态,加工简单且易于批量生产，在柔顺机构和平面折展机构中得到应用,如多层LEMs机构[9]、旋转式LEMs机构、平行导向LEMs机构、Bricard 6R机构[8]、平面折展升降机构[10]等。

目前，对于大多数柔顺铰特别是内、外LET柔顺铰的建模与分析多采用伪刚体模型法。该方法的核心思想是将柔顺铰中的柔性构件等效简化为多段刚性构件，并在每两段刚性构件之间添加扭簧来表征柔性构件的弯曲或扭转。在建模过程中，该方法的等效替代思想无法精确地描述柔顺铰在整个运动过程中各个部分的运动变形，并且在理论推导过程中存在诸多假设和试算。文献[11]应用伪刚体模型法对一柔顺机构进行了建模与仿真，从获得的柔顺机构的变形可看出仿真结果和实际差异较大。

本文采用绝对节点坐标法[12-13]对外LET柔顺半铰进行动力学建模与仿真，获得该铰中心线与外轮廓的运动变形，通过实验对比，验证绝对节点坐标法对柔顺铰建模、仿真的有效性；分析了外LET柔顺半铰外形尺寸变化对其变形规律的影响。

1 外LET柔顺半铰动力学模型

1.1 基于斜率不连续ANCF的柔顺半铰单元划分

将图1所示的外LET柔顺半铰应用图2a所示的ANCF三维二节点梁单元进行有限单元划分，结果如图2b所示，其局部放大如图2c所示。图2中，坐标系XYZ为全局坐标系，坐标系xmymzm、xnynzn分别为单元m和n的单元坐标系。

图1 外LET柔顺半铰Fig.1 The half outside LET compliant joint

对于图2a所示三维二节点梁单元，单元上任意点的全局位移[12-13]设为

r=(r1，r2，r3)T=(X，Y，Z)T=

S(x,y,z)e(t)

(1)

其中，ai、bi、ci(i=0,1,…,7)为插值多项式系数，x、y、z为定义在梁单元坐标系下的空间坐标，S(x，y，z)为形函数。节点坐标向量e(t)定义为

(2)

其中，rα(α=i,j)为节点全局位置坐标，即

(3)

(a)ANCF三维二节点梁单元

(b)有限单元划分

(c)局部放大图图2 单元划分Fig.2 Finite unit

(4)

式中，la为节点a在全局坐标系下的X轴坐标。

由式(4)可以看出，两个单元在同一节点处的节点坐标向量的斜率项并不相等，存在斜率不连续现象。在改进的ANCF法[14]中引入体坐标系，将节点坐标向量用体坐标系下的体参数进行描述(如图2b中的XbYbZb)，很好地弥补了OMAR提出的ANCF模型[15]无法描述该现象的不足。由于图2b中该体坐标系和全局坐标系重合，故两坐标系下对不同单元斜率坐标的描述是一致的。此时，单元坐标系下和体坐标系下的节点坐标向量之间存在以下变换关系：

(5)

其中，e是以单元坐标系参数定义的节点坐标向量，p是以体坐标系参数定义的节点坐标向量，jl,n(l,n=1,2,3)是雅可比矩阵项[16]，I和0分别为3阶单位阵和零阵，转换矩阵T表达式为

1.2 外LET柔顺半铰的单元建模

1.2.1单元质量矩阵

将式(5)代入式(1)，并对时间求导，由动能表达式可得出体坐标系下的单元质量矩阵

(6)

式中，ρ为材料密度；V为单元体积。

1.2.2单元弹性力

根据连续介质力学中非线性应变-位移关系，可计算单元的广义弹性力。变形梯度J为

(7)

J0=∂r0/∂vr0=Se0v=(x，y，z)T

其中，e0是单元初始状态的节点坐标向量。不失一般性，假设梁初始绕Y轴旋转，且与X轴夹角为θ，此时有

(8)

则Green-Lagrange应变张量εm可写为

(9)

考虑到应变张量εm的对称性，将其各元素写成向量形式ε=(ε11,ε22,ε33,ε12,ε13,ε23)T。由应变向量ε和应力向量σ间关系，可以求出单元的应变能

(10)

式(10)所示应变能对节点坐标p求偏导，可得体坐标系下弹性力向量表达式：

(11)

其中，K是刚度矩阵，且K=K1+K2+K3，有

(12)

(=a,b,c,d,e,f

式中，λ、μ为Lame常数。

1.2.3单元广义外力

由虚功原理可知，作用在单元上任意一点的外力F对单元做的虚功在体坐标系下可表示为

(13)

由式(13)可得广义外力向量在体坐标系下的表达式：

Qp=TTSTF

(14)

1.2.4单元的无约束动力学方程

由式(6)、式(11)、式(14)，单元在体坐标系下的无约束动力学方程为

(15)

其中，单元质量矩阵Mp是常数矩阵，因此没有科氏力和离心力。弹性力矩阵Qs和广义外力向量Qp均为节点坐标向量p的函数，所以是时变的。

1.3 外LET柔顺半铰的系统模型

将图1所示的外LET柔顺半铰离散成n个单元，根据式(15)建立该半铰的系统动力学方程：

(16)

其中，ps为组装后的系统节点坐标向量；矩阵Bi表示单元节点坐标向量和系统节点坐标向量之间关系的布尔矩阵，由0和1组成。

2 外LET柔顺半铰动力学仿真

将图1所示的外LET柔顺半铰一端固定，另一端中心位置施加一外载荷F，使该铰在空间绕Y轴做旋转运动，如图3a所示。该半铰材料为铍青铜，密度为8 300 kg/m3，弹性模量E=128 GPa，泊松比υ=0.29，外形见图3b，厚度均为1 mm，长度LⅠ=30 mm，LⅡ=30 mm，LⅢ=20 mm，LⅣ=30 mm，LⅤ=30 mm，宽度HⅠ=10 mm，HⅡ=6 mm，HⅢ=6 mm，HⅣ=6 mm，HⅤ=10 mm，给定总长LAB=80 mm的外柔顺半铰末端B点的位移载荷和时间t之间的关系如下：

(a)外LET柔顺半铰模型

(b)外LET柔顺半铰尺寸图3 外柔顺半铰模型及其尺寸Fig.3 The model and dimensions of a half outside LET compliant joint

(17)

式(17)对应的末端B点的轨迹如图4所示。

图4 外柔顺半铰末端B点的轨迹Fig.4 The end-point track of a half outside LET compliant joint

将该外LET柔顺半铰离散成14个单元，对式(16)所示系统动力学微分方程求解，并编写FORTRAN程序进行计算，得到图5所示的外柔顺半铰中心线不同时刻的状态。

图5 外LET柔顺半铰不同时刻中心线状态Fig.5 The configuration of center line of the half outside LET compliant joint at different time

图5反映了该铰受力运动过程中心线的运动变形过程。为进一步反映整个半铰在不同时刻各个部分变形情况，根据计算得到的节点坐标值，由式(1)得到该半铰在不同时刻的外轮廓运动变形状态，如图6所示。

(a)0时刻 (b)0.6 s时刻 (c)1.2 s时刻

(d)1.8 s时刻 (e)2.4 s时刻图6 不同时刻外柔顺半铰的状态Fig.6 The configuration of profile of the half outside LET compliant joint at different time

由图6可以看出，当外LET半铰末端按照图4所示的运动轨迹运动时，半铰每个部分产生的变形是不同的，其变形主要集中在Ⅱ、Ⅳ两部分，呈现弯曲和扭转组合状态。Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ三个部分产生较小的弯曲变形，它们更多起到的是充当柔顺半铰变形部分的连接作用。仿真结果也佐证了文献[6]中对该类柔顺铰建模时提出的模型简化假设的合理性。

3 实验验证与分析

本实验用到的主要仪器有实验件、驱动装置、图像采集与分析仪器和卡具等。其中，驱动装置选择龙门移动式三维伺服运动控制平台，可以通过C语言编程控制平台实现所需轨迹，运动精度由光栅测量，反馈给伺服电机，构成闭环控制。图像采集与分析仪器由X-series系列的MotionPro X4高速摄像机、AF Nikkor 50mm f/1.4D镜头、Motion StudioTM软件及光源等组成。

实验件选择铍青铜(Qbe2.0)，材料的弹性模量E=128 GPa，泊松比υ=0.29，实验件的实物图见图7。为了增强拍摄效果，在零件表面喷涂了白色涂料。实验件的左端A处由夹具固定在工作台上不动，右端B在驱动装置带动下按图4所示规律运动。

图7 实验件装卡实物图Fig.7 The assemble picture

实验仪器安装调试后的状态如图8所示。不同时刻，实验用半铰的实际运动图像见图9，可看出该铰在运动中各个部分的变形形态和图6中仿真结果的趋势是一致的。

图8 实验装置Fig.8 The picture of experiment instruments

图9 外LET柔顺半铰实际运动状态Fig.9 The real motion configuration of a half outside LET joint

对采集到的图像进行处理，图7中1号点、2号点以及末端点运动轨迹的实验和仿真结果对比如图10所示。可以看出，实验轨迹和理论轨迹基本吻合，验证了本文仿真结果的正确性。

图10 实验和仿真轨迹对比Fig.10 Track comparison of experiment and simulation

4 外形尺寸对半铰变形影响

由图6分析结果可知，半铰的每个部分的变形状态均不同。对不同外形尺寸的外LET柔顺半铰动力学特性进行计算，总结出外形尺寸对该半铰受力后形状变化的影响规律，可为以后的外LET柔顺半铰外形尺寸设计提供指导。

首先分析半铰各部分宽度、厚度不变时，长度变化对其变形的影响。保持加载方式不变，即将半铰一端固定，另一端中心位置施加位移载荷F，各段宽度分别为HⅠ=HⅤ=10 mm，HⅡ=HⅢ=HⅣ=6 mm。

三种不同长度的半铰中心线变形状态见图11，基于图3b所示，图中注释表示 “厚度-LⅠ-LⅡ-LⅢ-LⅣ-LⅤ的数据(单位mm)”。由仿真结果看出，改变半铰的长度，其中心线的变形差异较大，外形长度尺寸为30-30-20-30-30(mm)的半铰的变形较为合理，更符合实际应用需求。

基于以上各段长度尺寸和加载方式，改变厚度和宽度的不同半铰加载后形状变化见图12，图12中注释表示“厚度-HⅠ-HⅡ-HⅢ-HⅣ-HⅤ”数据(mm)。

图11 外LET柔顺半铰长度尺寸对变形的影响Fig.11 The influence of lengths of a half outside LET compliant joint on deformation

由图12可以看出，外LET柔顺半铰的外形尺寸有很小变化时，对其变形会产生较大的影响。其中，半铰的厚度尺寸对其受力后形状变形的影响见图12a。保证半铰各段的其他尺寸相同，将厚度分别设定为0.6 mm、0.3 mm和0.15 mm时，其各段的中心线变形均有较大差异，尤其是在固定端，厚度为0.6 mm与0.15 mm的半铰在-y方向有较大偏离，可能会造成固定端撕裂，影响柔顺半铰的正常工作，厚度为0.3 mm的外LET柔顺半铰变形较好。柔顺半铰的厚度和宽度均以一个固定的比例变化时，其各段的变形规律见图12b。可以看出，当厚度与各段宽度同时变大时，会导致半铰柔顺性变差，刚度变强，致使固定端偏向y轴正方向；当厚度与各段宽度同时减小时，会导致半铰刚度减小，柔顺性增强，致使固定端偏向y轴负方向。图12c保持半铰Ⅰ、Ⅴ段宽度相同，其余各段按照图12b的尺寸比例变化，发现半铰的变形规律与图12b趋势一致。图12d中只改变半铰Ⅱ、Ⅳ段的宽度HⅡ、HⅣ，其他段的宽度和各段厚度保持一致，可以看出，3个半铰变形差异明显。图12e只改变Ⅲ段的宽度HⅢ，各段厚度和其他段的宽度保持不变，可以看出3个半铰的变形基本一致，在外力影响下，变形后其中心线基本重合。图12f中保持整体厚度和Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ段宽度HⅡ、HⅢ、HⅣ不变，分析Ⅰ、Ⅴ段宽度HⅠ、HⅤ对半铰变形的影响，可以看出，3个半铰变形有较大差异，说明Ⅰ、Ⅴ段的外形宽度尺寸对半铰变形的影响较为明显。

(a)厚度对外柔顺半铰 (b)各段宽度和厚度同比例 (c)HⅡ、HⅢ、HⅣ同比例改变 变形的影响 变化对变形的影响 对变形的影响

(d)HⅡ、HⅣ同比例改变对变形的影响 (e)HⅢ对变形的影响 (f)HⅠ、HⅤ同比例改变对变形的影响图12 外LET柔顺半铰外形尺寸对变形的影响Fig.12 The influence of dimension of a half outside LET compliant joint on deformation

对比图12d～图12f，发现外LET柔顺半铰的变形对Ⅱ、Ⅳ段的宽度变化较为敏感；Ⅰ、Ⅴ段的影响次之；Ⅲ段的宽度在一定范围内变化时，对半铰变形影响较小。

5 结论

(1)采用斜率不连续的绝对节点坐标法建立了外LET柔顺半铰的动力学方程，仿真分析了该铰在外力作用下中心线和外轮廓的运动变形。

(2)完成了外LET柔顺半铰加载实验，测得给定点的运动轨迹和整个铰的实际运动状态，实验和仿真结果证明了所用建模方法的有效性。

(3)外LET柔顺半铰运动变形的仿真结果显示，半铰外形尺寸对变形影响较大；半铰Ⅱ、Ⅳ段变形呈现为弯扭组合，其他部分为弯曲变形；且半铰变形对Ⅱ、Ⅳ段的宽度变化最为敏感，Ⅲ段的宽度变化对半铰变形影响不大。