浅埋黄土隧道围岩压力计算方法

于 丽，吕 城，段儒禹，王明年

(1.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031；2.西南交通大学 交通隧道工程教育部重点实验室，四川 成都 610031)

浅埋隧道围岩压力的计算是确定隧道支护设计荷载的前提，国内外学者已通过数值计算[1-5]、理论分析[6-9]及模型试验[10]等手段对浅埋隧道的破坏模式及围岩压力计算进行了研究，其中应用最为广泛的主要为太沙基、谢家烋[6]、比尔鲍曼等理论计算公式或方法。太沙基理论假定土体为具有一定黏聚力的松散土体，从土压力传递的角度出发研究了围岩压力，考虑了土体黏聚力、内摩擦角、埋深及隧道尺寸对围岩压力的作用；谢家烋[6]考虑浅埋隧道的破坏特征，基于极限平衡理论推导了围岩压力的计算方法，被铁路和公路隧道规范采用；比尔鲍曼法是比较早的围岩压力计算方法，现在在实际中应用并不是很多。对于浅埋黄土隧道，根据现场调研情况[11-14]，黄土垂直节理普遍发育导致其破坏模式及围岩压力大小、分布不同于其他隧道，既有的围岩压力计算方法不能完全满足工程实际情况，因此研究浅埋黄土隧道围岩压力的计算方法是十分重要的。

结合浅埋黄土隧道实际的破坏形式，构建浅埋黄土隧道的破坏模式，基于极限平衡理论，推导围岩压力的计算公式,并根据围岩滑裂面上的应力状态推导出围岩破裂角的计算公式。并将本文方法计算的破裂角及围岩压力分别与现场实测值、既有方法的计算值进行对比，验证本文破裂角及围岩压力计算方法的正确性和有效性，并分析不同参数对围岩破裂角、围岩压力的影响。

1 围岩压力计算方法的建立

1.1 浅埋黄土隧道破坏模式

从隧道施工现场实际破坏情况来看，浅埋黄土隧道的坍塌面大多数为近乎直立的破裂面[14]，这是因为黄土垂直节理发育，在节理面上形成抗剪强度较小的软弱面，当土体下方隧道施工形成临空面时，受重力的作用，土体沿着垂直节理的软弱面塌落。浅埋隧道施工后，上方地层形成滑动趋势面，因黄土直立性好，在地表附近形成可见的裂缝[13]，据此建立浅埋黄土隧道的破坏模式如图1所示。图中：AA′和BB′均为垂直破裂面；A′C′和B′J′均为斜向破裂面，其与水平方向的夹角为β，β即为浅埋黄土隧道的破裂角；b为隧道半宽，m，b1为拱顶松动范围的半宽，m；H为隧道高度；h为隧道上覆土体高度。

图1 浅埋黄土隧道破坏模式

1.2 围岩压力理论推导

考虑隧道的对称性，取隧道右边一半进行受力分析，如图2所示。图中：W1为隧道拱部EBB′I的重力，kN；W2为肩部三角形土体JJ′B′的重力，kN；Pq为作用于隧道顶部的竖向围岩压力，kPa；Pe为水平围岩压力，kPa；λ为侧压力系数；T为直立破裂面AA′所受的切向摩擦阻力，kN；N为直立破裂面BB′所受的法向压力，kN；T1为斜向破裂面A′C′所受的切向摩擦阻力，kN；N1为斜向破裂面B′J′所受的法向压力，kN；F和F′为拱部土体EBB′I与三角形土体JJ′B′之间的作用力与反作用力，kN；X为中轴线上的静止土压力；c为土体的黏聚力，kPa；φ为内摩擦角，(°)；γ为土体的重度，kN·m-3。

图2 隧道受力分析图

对于图2所示的受力图，根据受力平衡原理，建立如下土体的竖向和水平静力平衡方程。

拱部土体EBB′F：

W1=Pqb1+T+F

(1)

X=N

(2)

三角形土体JJ′B′：

W2+F′=T1cosβ+N1sinβ

(3)

λPqH+T1sinβ=N1cosβ

(4)

土体EBB′J′GI：

Pqb1+T+T1sinβ+N1cosβ=W1+W2

(5)

N+N1sinβ-T1cosβ=X+λPqH

(6)

然后，在破裂面BB′和B′J′上分别应用Mohr-Coulomb强度破坏准，则有

T=ch+Ntanφ

(7)

(8)

由式(1)—式(6)可得到竖向围岩压力的计算公式为

(9)

又因为，拱部土体EBB′I的重力W1为

W1=γhb1

(10)

隧道拱部松动范围的半宽b1为

(11)

隧道断面矢跨比(扁平率)为

(12)

将式(10)—式(12)代入式(9)，并整理可得竖向围岩压力解析式为

(13)

水平围岩压力的计算公式为

Pe=λPq

(14)

对于黄土隧道深埋与浅埋的界定，即分界深度的取值，参照王明年[11]的研究成果，新黄土(Q3，Q4)的取上限55～60 m，老黄土(Q1，Q2)的取上限40～50 m。

2 围岩破裂角理论计算公式

2.1 破裂角理论计算公式推导

由式(13)可知，对于具体的隧道，物理力学参数是确定的，仅需确定破裂角β。根据太沙基、朗肯土压力的理论计算，松散体中的破裂角均为β=π/2+φ，对于这一计算式，易小明[15]给出了理论推导过程。但是，浅埋黄土隧道实际的破裂角明显大于该公式的计算值，因此，根据围岩滑裂面上的应力状态推导其计算公式。

(2)黄土隧道常见的坍塌面为直立型，因此忽略阴影土体转动对σ1的影响；

(3)隧道断面的不规则形状均简化为矩形。

图3 浅埋黄土隧道破裂角推导模型

将BB′IE土体的重力平均化，基于上述假设，等效得到附加应力作用下的右下侧土体JJ′B′三角土体应力场为

(15)

(16)

且有，

(17)

式中：σ1和σ3为等效之前原岩的竖向应力、水平应力，kPa。

在滑裂面上任意一点原岩应力的关系为

(18)

而滑裂面上极限抗剪强度的极限为

τmax=σntanφ+c

(19)

令函数O(β)为滑裂面上极限抗剪强度函数与剪应力之差[6]，即

O(β)=τmax-τn

(20)

将式(17)—式(19)代入式(20)，并整理可得

(21)

当O(β)对β的一阶导数为0时，隧道是最危险的。由此，对式(21)求导，并考虑K=H/2b，则得到隧道最危险时破裂角的计算公式为

(22)

2.2 破裂角计算方法对比

选取郑西客专的贺家庄、吕家岩等6座黄土隧道，其物理力学参数及埋深均见表1。6座隧道的开挖高度和跨度相同，均为H=13.38 m，D=15.4 m(D=2b)。侧压力系数λ根据《铁路隧道设计规范》计算，结果也见表1。土柱摩擦角θ取值根据《铁路隧道设计规范》[16]选取平均值，Ⅳ级围岩条件下取θ=0.9φc，Ⅴ级围岩条件下取θ=0.7φc，结果也见表1。分别采用本文方法、谢家烋法、太沙基法(普氏理论与太沙基法相同)及易小明法，对6座隧道分别计算破裂角β，结果见表2；同时实测这6座隧道现场实际的破裂角β，并计算理论值与实测值的差值，结果均见表2。

表1 计算参数

表2 破裂角β的计算结果验证 (°)

从表2可知：谢家烋法计算的破裂角与实测值的差值为-6.5°～0.6°，本文方法与实测值的差值为-3.3°～3.5°，可见谢家烋法和本文方法与现场实测值均较接近，且本文方法的差值更小；同时，谢家烋法中土柱摩擦角θ取值对结果影响较大[17]，Ⅳ级围岩条件下取θ=0.7φc～0.9φc，Ⅴ级围岩条件下取θ=0.5φc～0.7φc，计算得到的破裂角相差分别达到7.7°和3.1°，并且这种取值方法完全凭借经验，并无理论加以验证，因此谢家烋法的结果受人为主观因素较大。易小明方法得到破裂角的差值为3.5°～14.6°，太沙基理论的为10.3°～18.5°，两者均远大于本文方法的差值。

2.3 单一参数变化对破裂角的影响规律

以贺家庄隧道为例，单一参数变化时其值分别取：侧压力系数λ=0.4，0.5，…，1.5；内摩擦角φ=5°，10°，…，45°；断面矢跨比(扁平率)K=0.5，0.6，…，1.5；隧道埋深h=10，15，…，50 m。分别采用本文方法、太沙基理论、易小明法及谢家烋法，分析这4个单一参数变化对破裂角β的影响，如图4所示。

图4 单一参数变化对破裂角的影响规律

从图4可以得出如下结论。

(1)本文方法和谢家烋法计算的破裂角随着侧压力系数的增大而缓慢的减小，即影响不是很明显。太沙基法破裂角计算值与侧压力系数无关。易小明法的破裂角计算值在侧压力系数小于0.9时，破裂角随着侧压力系数的增大而增大，增大的速率不断增大；而在侧压力系数为1.0时破裂角突然减小；在侧压力系数大于1.0时破裂角计算值又随着侧压力系数的增大而增大，增大的速率不断减小。

(2)本文方法计算的破裂角随着内摩擦角的增大而减小，而太沙基法、易小明法及谢家烋法计算的破裂角随着内摩擦角增大而增大。现场调研的实际破裂角随着内摩擦角的增大有减小的趋势[11,13]。

(3)本文方法计算的破裂角随着矢跨比的增大而增大，其他3种方法计算的破裂角变化不大。

(4)本文方法计算的破裂角随着隧道埋深的增大而缓慢减小直到稳定；太沙基法和谢家烋法计算的破裂角与隧道埋深无关，易小明法计算的破裂角随着隧道埋深的增大而明显减小。

(5)综合来看，本文方法计算的破裂角受影响最明显的是矢跨比和内摩擦角。本文方法最符合浅埋黄土隧道的实际情况，验证了本文方法的合理性及正确性。

3 围岩压力计算合理性验证

选取贺家庄隧道、函谷关隧道及潼洛川隧道[4]，分别采用本文方法、太沙基法、谢家烋法和比尔鲍曼法计算浅埋黄土大断面隧道围岩压力，并与现场实测值进行比较。3座隧道的物理力学参数取值仍见表1，开挖高度和跨度仍均为H=13.38 m，D=15.4 m(D=2b)。因现场调查监测围岩压力的位置与调查破裂角的位置并不是同一个地方，所以隧道埋深见表3。本文方法和太沙基法侧压力系数根据现场实测值进行选取，谢家烋法侧压力系数按照《铁路隧道设计规范》相关公式进行计算，结果见表3。谢家烋法土柱摩擦角θ根据规范进行选取，Ⅳ级围岩θ=0.8φc，Ⅴ级围岩θ=0.6φc。围岩压力的现场实测值[13]和计算值见表3，计算值与实测值的差值见表4。

从表3、表4可知：对于竖向围岩压力，贺家庄隧道的太沙基法计算值小于现场实测值，这是因为太沙基法没有考虑黏聚力的作用，据此进行支护设计是不安全的，可见太沙基法不能用于计算浅埋黄土隧道围岩压力；谢家烋法、比尔鲍曼法、太沙基法的另外2个隧道和本文方法的计算值均大于现场实测值，但本文方法的计算值与实测值更接近；对于水平围岩压力，谢家烋法、太沙基法、比尔鲍曼法的2个隧道均小于现场实测值，据此进行支护设计是不安全的；本文方法计算的竖向、水平围岩压力均大于现场实测值，具有一定的安全储备，且竖向围岩压力明显小于谢家烋法和比尔鲍曼法，因此本文方法计算浅埋黄土隧道的围岩压力是正确的、有效的。

表3 浅埋黄土隧道围岩压力计算结果

表4 不同计算方法围岩压力的计算值与实测值的差值

4 围岩压力计算值参数影响分析

这里只分析竖向围岩压力随单一参数变化的规律。以贺家庄隧道为例，单一参数变化时其值分别取：侧压力系数λ=0.8，1.0，…，2.0；内摩擦角φ=15°，20°，…，45°；断面矢跨比(扁平率)K=0.6，0.8，…，2.0，其中隧道开挖跨度D=15.4 m不变，高度取不同的值；隧道埋深h=15，20，…，45 m；黏聚力c=0,10，…，100 kPa；重度γ=15,17，…，21 kN·m-3。计算摩擦角φc=φ+10°，土柱摩擦角θ=0.7φc。分别采用本文方法、谢家烋法、太沙基法和比尔鲍曼法分析这6个单一参数变化对竖向围岩压力的影响规律，如图5所示。由图可得到如下结论。

(1)谢家烋法得到的侧压力系数一般小于1.0，而现有黄土隧道侧压力系数多分布在0.8～2.0之间[13]，所以不分析谢家烋法。随着侧压力系数的增大，本文方法、太沙基法计算的围岩压力逐渐减小，而比尔鲍曼法的几乎不变。

(2)随着内摩擦角的增大，本文方法和谢家烋法计算的围岩压力均呈非线性减小，太沙基法呈线性减小，而比尔鲍曼法是先缓慢增大再缓慢减小。

(3)随着矢跨比的增大，本文方法、太沙基法及比尔鲍曼法计算的围岩压力而逐渐增大，而谢家烋法的没有变化，显然谢家烋法忽略了矢跨比对围岩压力的作用，说明谢家烋法考虑不全面。

(4)随着隧道埋深的增大，本文方法、太沙基法和比尔鲍曼法计算的围岩压力呈线性增大，谢家烋法先增大后减小。

(5)随着黏聚力的增大，本文方法和太沙基法、比尔鲍曼法计算的围岩压力呈线性减小，谢家烋法无变化，说明谢家烋法的计算结果不符合实际规律。

(6)随着重度的增大，4种方法计算得到的围岩压力均呈线性增大，增幅基本一致。

(7)综上可知，本文方法的围岩压力计算值随参数的变化符合一般规律，谢家烋法不能充分考虑黏聚力、矢跨比及侧压力系数的影响，太沙基法计算的围岩压力存在小于现场实测值的情况，比尔鲍曼法计算的围岩压力过大且不能体现侧压力系数对围岩压力的影响，可见，本文方法最能符合浅埋黄土隧道工程的实际情况，围岩压力计算值和现场实测值契合度高且具有一定的安全储备。

图5 围岩压力随参数的变化曲线

5 结 论

(1)本文结合现场实际破坏形式构建浅埋黄土隧道的破坏模式，基于极限平衡理论，推导出围岩压力的计算公式，并根据围岩滑裂面上的应力状态推导出围岩破裂角的计算公式。

(2)对于围岩破裂角，将本文计算方法以及既有的谢家烋法、太沙基法、易小明法的计算值均与实测值相比可知，谢家烋法的结果受人为主观因素较大，太沙基法和易小明法均与实测值相差较大，本文方法与实测值最接近。本文计算方法认为，围岩破裂角随侧压力系数、内摩擦角和隧道埋深的增大而减小，随矢跨比的增大而增大。

(3)对于围岩压力，将本文计算方法以及既有的谢家烋法、太沙基法、比尔鲍曼法的计算值均与实测值相比可知，本文方法的计算值与实测值更接近，且均大于现场实测值，具有一定的安全储备。本文计算方法认为，围岩压力随着侧压力系数、内摩擦角和黏聚力的增大而减小，随着矢跨比、隧道埋深和土体重度的增大而逐渐增大。

(4)本文围岩压力和破裂角的计算方法克服了既有计算方法的不足，充分考虑了侧压力系数、内摩擦角、矢跨比、埋深、黏聚力及重度的影响，可为浅埋黄土隧道的设计提供理论依据。