应用均值换元法解最值问题

江苏省泰州中学附属初中 (225300)

何林峰

评注:本题如用常规方法求最大值，可将原式两边平方后，通过化简变形去寻找解题途径.然而应用均值换元法求出结果，不仅方法新颖，而且简捷，别有风味.本题解法的巧妙之处在于通过均值换元法，大大减少了计算量，降低了解题的难度，充分显示了均值换元法的优越性.

例2 (2001年全国初中数学竞赛题)已知实数a，b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2.试求t的最大值和最小值.

例3 (2016年浙江大学自主招生考试题)设x,y≥0,2x+y=6,求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最大值和最小值.

分析：此类问题常用消元法，将其转化为一元函数的最值求解，观察本例的条件2x+y=6，发现2x+y=6=2×3，因此可以另辟蹊径，通过均值换元求解.

评注：本题用一般的思维方式考虑，很难找到解题的方法或者过程相当复杂，而通过均值换元法，沟通了题设与结论的关系，使问题得到轻松解决.

例4 (2011年武汉大学自主招生考试题)设实数x，y，z满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,试求z的最大值和最小值.

例5 (江苏省苏北四市2018年春高三一模试题)设x、y、z为非负数，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-2xyz的最大值和最小值.

评注：此题从表面上看似乎与均值换元法无关，使人陷入“山穷水尽疑无路”之情.但仔细观察题目条件的特点，充分展开联想，发挥思维的创造性，使得解题思路简捷明快，解法简单顺畅，解法灵活巧妙.

从以上各例可以看出应用均值换元法求最大(小)值，其关键是要从问题的背景出发，根据题设及所求题目的结构特征经过合理的推理，探究出问题中的隐藏的均值换元法关系，列出符合题意的关系式，从而与均值换元法的有关知识联系起来，以达到解题目的.

总之，应用均值换元法解最值问题，其关键是引进新的变量(元)参与计算，再结合代数知识求解.充分体现了变繁为简，化难为易，化未知为已知的数学解题思想，从而达到消元的目的，简便流畅地解决了问题.