高中不等式恒成立问题解题策略分析

杨智博

摘 要：高中数学常见问题中，不等式恒成立问题是贯穿整个高中数学的重要内容，纵观十年的高考数学试题，不管是在选择题、填空题还是简答题，不等式恒成立出现的几率都非常大，尤其是结合函数、数列等知识点作为压轴大题出现时，难度较大且学生得分率不高，本文根据不等式的类型和特点采用不同的解题方法。

关键词：不等式恒成立;重要不等式;解题方法

一、高中不等式的基本内容

（一）不等式的基本性质

不等式的基本性质是学习不等式的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据，实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。不等式的基本性质有九种：

（二）重要不等式

高中数学中几个重要不等式对于解题非常重要，主要有均值不等式、柯西不等式、基本不等式、绝对值不等式等，其中基本不等式难度有所降低但应用非常广泛，而柯西不等式等难度略高。

3.绝对值三角不等式

第一种情况，两个实数的绝对值三角不等式，若a，b都是实数，则当且仅当ab≥0时等号成立

第二种情况，多个实数的绝对值三角不等式，若a，b，c，都是实数，则当且仅当（a-b）（b-c）大于等于0时，等号成立。

二、不等式恒成立问题解题常用方法

（一）用一元二次方根的判别法

这是最简单的一种解题方法，一般出现在选择题或者填空题中，做题时应注意不等号符号。

例如：对于x∈R，不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，求实数m的取值范围。

解题关键：将有关参数的一元二次不等式转化为二次函数或者二次方，利用其函数图像来解题。如果二次函数的定义域不是R，相当于在指定的区间内求不等式恒成立，这时韦达定理、根与系数的分布公式就可以帮助我们求解，有时转换为求最值也不失为一种好方法。

解析：设f（x）=x2-2x+3-m≥0，其函数图像是开口向上的抛物线，要使f（x）=x2-2x+3-m≥0，只需要使△≥0即可，即（-2）2-4（3-m）≤0，由此解得m≤2.

（二）分离变量法

在不等式中通常会有两个变量，一个变量是已知的，将已知的变量与所求的变量分别置于不等号两边或者将不等式问题转化为求最值。

例如：x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4

解析：当x∈（1，2）时，由x2+mx+4-5 可得 m≤-5

解题关键：利用分离变量法来确定不等式时，实参数的取值范围很重要，先将参数与变量分离，再解出不等式，得出参数的取值范围，最终再转化为函数值。

（三）数形结合法

用最直接的办法解不等式是学生最常用的，但对于一些不等式来说，直接解函数会增加困难而且无法解得最终答案，此时需要转换解题思路，若把不等式进行变形，使得我们可以画出函数的图像，通过图像就可轻而易举的判断出结果，这种方法在选择题中尤其适用，观察图像就能立马在给定选项中锁定正确答案。

例如：f（x）≥2x-m恒成立，则实数m的取值范围。

解析：画一平面直角坐标系，在坐标系中分别作出函数y=2x-m和y=f（x）的图像，由于f（x）≥2x-m恒成立，所以函数y=2x-m应该总是在函数y=f（x）的图像下方，因此当x=-2时，y=-4-m≤0，所以m≥-4，故m的取值范圍是[-4+∞）。

解题关键：不等式问题与函数问题常常是分不开的，将不等式转化为两个函数，利用函数图像的位置来确定参数的范围，关键在于构造函数，准确画出函数图像。

三、解题策略小结

对于一次函数问题，利用一次函数的图形特征就可求解，对于二次函数问题，结合抛物线转化为求最值得问题，注意对参数的范围分类讨论，不管是一次函数还是二次函数，都可以用数形结合法。

对于f（x）≥g（x）这种题型的问题，利用数形结合法的思想转化为函数图像的上下关系进行求解，也可以用参数分离法，将问题转化为a≥f（x）或者a≤f（x）恒成立，这里就可以运用不等式知识和函数求最值的方法求解。

结束语：虽然不等式的题型变化多样，但万变不离其宗，牢牢掌握解题方法非常重要，抓准出题人的意图，准确的判断出用何种方法解题是关键，学好不等式恒成立的相关内容，对同学们的帮助不仅仅是成绩的提高，更是思维的扩展，能提高学生的探究欲望和解决问题的能力。

参考文献

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[2]邬仁勇，沈新权.居高声欲远，更需借秋风——一道经典不等式证明题的多视角探究[J].中学数学研究.2015（11）

[3]朱月祥，成效雨.不等式证明的对偶策略[J].高中数学教与学.2015（23）