基于尖点突变理论和MF-DFA法的隧道大变形监测

常瑶

摘要：高地应力软岩隧道发生大变形具有必然性，严重影响施工安全，对其稳定性进行评价并判断变形趋势可为工程施工提供一定的参考，具有很强的现实意义。以成兰铁路松潘隧道为例，利用尖点突变理论和多重分形去趋势波动分析法（MF-DFA）构建了高地应力软岩隧道大变形的稳定性及变形趋势判断模型，并进行变形预测。结果表明：尖点突变理论能有效评价隧道大变形的稳定性;松潘隧道目前处于稳定状态，但不同阶段的稳定性具有差异，且隧道稳定性不仅与累计变形量相关，也与变形曲线的增长过程相关;同时，MF-DFA分析得出隧道大变形具有多重分形特征，且具正向增长趋势，但趋势性较小。该方法为隧道大变形规律研究提供了一种新的思路，可为工程设计施工人员提供参考。

关 键 词：软岩隧道; 大变形预测; MF-DFA; 尖点突变理论; 高地应力; 松潘隧道

中图法分类号： P642 文献标志码： ADOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2019.01.022

近年来，随着我国交通建设的快速发展，隧道工程也在不断增加，相应的工程技术问题也越来越多[1]。其中，高地应力软岩地区的大变形问题已成为隧道建设过程中的突出难题，给工程建设造成了极大困难，因此，软岩隧道的大变形研究具有十分重要的意义[2]。目前，还未对隧道大变形形成统一的定义，有学者认为：隧道大变形指的是围岩变形量超过预留变形量[3-5]。近年，许多学者在隧道大变形方面做了大量研究，如赵亢等对高地应力条件下的大变形机理进行研究，为类似隧道的设计、施工提供了指导[6];高发征分析了弱胶结软岩的大变形特征，并提出相应的变形控制措施，有效保证了现场施工安全[7];王兴彬[8]、徐松[9]对隧道大变形控制措施进行了研究，为解决类似工程问题积累了经验。上述研究虽取得了一定的研究成果，但缺少对隧道大变形的趋势分析和稳定性评价，针对该问题，本文提出利用多重分形去趋势波动分析法（Multifractal Detrended Fluctuation Analysis，MF-DFA）來分析隧道大变形的发展趋势，并利用尖点突变理论判断隧道大变形的稳定性。其中，多重分形去趋势波动分析法目前虽还未应用于隧道变形领域，但已在水文及其它岩土领域得到了广泛应用，如钟亮等利用该方法对河道水沙变化序列进行分析，揭示了水沙序列的变化特征，有助于河道水沙变形趋势的预测预报[10];韦武昌等利用该方法分析了大坝变形序列的波动特征，为大坝的安全监测提供了一定的数据支持[11]。同时，尖点突变理论已被广泛应用于岩土领域的稳定性判断中，如吴庆发利用尖点突变理论判断了隧道围岩的稳定性，为及时掌握隧道变形突变提供了依据[12];徐海清等利用尖点突变理论建立了隧道失稳的预测模型，该模型能有效判断围岩塌方的时间，为避免塌方事故提供了依据[13]。上述研究成果充分说明了多重分形去趋势波动分析法和尖点突变理论在变形趋势判断及稳定性评价中的有效性。因此，本文提出利用尖点突变理论判断隧道大变形的稳定性，再利用多重分形去趋势波动分析法判断大变形的发展趋势，实现隧道大变形规律的综合分析，以期为隧道大变形研究提供一种新的思路。

1 基本原理

1.1 尖点突变理论

尖点突变理论是一种非线性理论，能有效评价事物由稳定状态到非稳定状态的转变过程，对隧道围岩的变形稳定性研究具有较好的适用性[14-16]。

隧道大变形的突变分析步骤为：① 基于现场实测数据拟合变形函数;② 对变形函数进行转化，使之成为尖点突变理论的标准形式;③ 计算突变特征值;④ 根据突变特征值判断围岩变形的稳定性。

（1） 拟合变形函数。隧道的变形监测一般包括拱顶沉降监测和水平收敛监测，其变形序列表示为{x1，x2，…，xt}，对其进行4项多项式拟合，得到变形函数为

W（t）=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4（1）

式中，W（t）为变形函数;ai（i=0，1，2，3，4）为待拟合参数;t为时间节点。

（2）标准化变换。根据尖点突变理论的基本原理，令t=x-A，a=a2/4a4，对变形函数进行初步变换，得：

Y（x）=b4x4+b2x2+b1x+b0（2）

式中，Y（x）为初步变换函数;bi（i=0，1，2，4）为待拟合参数，A为变换参数。

其中，拟合参数a和变换参数b间的变换关系为

b0 b1 b2 b3 b4=A4-A3A2-A1 -4A43A2-A10 6A2-3A1000 10000a4 a3 a2 a1 a0（3）

同时，对式（2）的两侧同以时除b4即可得到标准形式：

第1期  常 瑶：基于尖点突变理论和MF-DFA法的隧道大变形监测

人 民 长 江 2019年

T（x）=x4+μx2+νx+c （4）

μ= a2a4- 3a238a24（5）

ν= a1a4- a2a32a24+ a338a34（6）

式中，T（x）为标准函数;μ、ν为突变特征参数;c为常数。

（3） 突变特征值计算。对标准形式进行二次求导，得突变特征值的计算公式为

Δ=8μ3+27ν2 （7）

（4） 稳定性判断。通过突变特征值Δ即可判断隧道变形的稳定性，即当Δ<0时，隧道处于不稳定状态;当Δ=0时，隧道处于临界状态;当Δ>0时，隧道处于稳定状态。同时根据文献[17]，得出Δ值的大小可描述演化状态与临界状态的接近程度，且Δ大于0时，其值越大，稳定性越差，反之稳定性越好。

1.2 多重分形理論

本文利用多重分形去趋势波动分析法分析隧道变形序列的分形特征及变形趋势[18-19]。多重分形去趋势波动分析法能有效判断时间序列的发展趋势，对评价隧道的变形趋势具有较好的适用性，其分析步骤分述如下。

（1） 隧道的变形序列为{xi}（i=1，2，…，N），计算其累计离差序列为

yi=ik=1 （xk-x′）（8）

式中，yi为第i个节点的累计离差值;x′为变形序列的平均值;N为序列长度。

（2） 对累计离差序列进行区间划分，共划分为 Ns =N/s（非整数时取整数）个区间，每个区间长度为s。同时，当Ns非整数时，会导致序列剩余节点的浪费，因此，再逆序按长度s重新划分区间，共计得到2Ns个子区间。

（3） 在各子区间v内部，进行多项式拟合，得拟合多项式为

yv（i）=a1ik+a2i k-1 +…+a k+1 （9）

同时，根据v值的不同，求解对应的方差，即当v属于1～Ns时，方差求解公式为

F2（s，v）= 1ssi=1{y[（v-1）s+i]-yv（i）}（10）

当v属于Ns+1～2Ns时，方差求解公式为

F2（s，v）= 1ssi=1{ y[N-（v-Ns）s+i]-Pv（i）}（11）

（4） 基于各子区间的方差，可计算 q 阶条件下的波动函数：

F（q，s）= 12Ns2Nsv=1[F2（s，v）]q/21/q （12）

式中，F（q，s）与s1为幂函数关系;q为非零实数。

（5） 根据上述分析，不断改变区间长度s，可得到对应的F（q，s），且两者的对数值存在线性关系，即：

lnF（F，s）=lnk+h（q）·lns（13）

式中，h（q）为q值条件下的Hurst指数，即广义Hurst指数;lnk为常数。

（6） 对（q，h（q））进行最小二乘拟合，并对其拟合函数进行求导，得对应q值条件下的h′（q），进而可求得奇异指数a，即：

a（q）=h（q）+qh′（q）（14）

Δa=a max -a min （15）

式中，a（q）为q值条件下的奇异指数;h′（q）为q值条件下的导函数。

奇异指数可以描述评价序列的奇异程度，其变化区间越大，说明多重分形程度越大，反之越小。

多重分形特征判据：当h（q）值不依赖于q值时，即h（q）始终保持一个常数时，评价序列不具有分形特征;但当h（q）值随q的增大而减小时，则说明评价序列具有多重分形特征。

同时，当q为2时，h（2）为经典Hurst指数，将其作为隧道变形趋势的判断指标，变形趋势判据为：当h（2）<0.5时，评价序列的发展趋势与前一阶段的变形趋势相反，且偏离0.5的程度越大，趋势性越强;当h（2）=0.5时，评价序列没有相关性，不能判断其发展趋势;当h（2）>0.5时，评价序列的发展趋势与前一阶段的变形趋势相同，且偏离0.5的程度越大，趋势性越强。

2 实例分析

2.1 工程概况

成兰铁路松潘隧道位于县城南侧，总长8 048 m，最大埋深400 m，执行标准为双线国铁Ⅰ级，设计速度为200 km/h[20]。隧址区最高、最低高程分别为3 500 m和2 850 m，相对高差650 m，地形起伏较大，属构造剥蚀中山地貌。隧址段围岩以板岩和千枚岩为主，根据试验成果，得千枚岩的饱和抗压强度间于15～33 MPa之间，板岩的饱和抗压强度间于5～15 MPa之间。鉴于隧址区构造应力不发育，将自重应力作为岩体所受的最大地应力，并根据围岩强度应力比判别围岩所处的地应力等级，即：当围岩岩性为千枚岩时，隧道埋深超过80 m即为高地应力区，超过138 m即为极高应力区;当围岩岩性为板岩时，隧道埋深超过158 m即为高地应力区，超过277 m即为极高应力区。因此，该隧道属高地应力软岩隧道，具有发生大变形的条件。同时，隧道监控量测是隧道施工过程中不可或缺的工序，可及时掌握围岩的变形规律及各支护结构的稳定状态，对优化支护参数等具有重要作用。该隧道的测量方式为反射膜片及全站仪结合的非接触式监测，且隧道拱顶沉降和水平收敛的控制变形量为5 mm/d或100 mm。选取该隧道D3K244+269断面的监测数据为例，分析该文模型的有效性，共计有40个周期，监测频次为1次/d，变形曲线如图1所示。

2.2 稳定性分析

本文利用尖点突变理论来评价隧道变形的稳定性，且考虑到隧道施工的阶段性，将稳定性分析划分为整体分析和分阶段分析，其中整体分析指的是以所有监测数据为分析样本进行突变分析;分阶段分析指的是将监测数据划分为两阶段，即前期和后期，且前期样本为1～20周期，而后期样本为21～40周期。

2.2.1 整体稳定性分析

根据尖点突变理论的基本原理，对拱顶沉降及水平收敛的变形序列进行整体稳定性分析，得两序列的拟合函数分别如下所述。

拱顶沉降：

y=-2.599×10 -4 t4+2.343×10 -2 t3- 8.809×10 -1 t2+21.65 t-0.911 8（16）

水平收敛：

y=-1.756×10 -4 t4+1.043×10 -2 t3- 3.306×10 -1 t2+14.96 t+9.193（17）

根据拟合结果，拱顶沉降的拟合度为0.998，均方根误差为4.159，而水平收敛的拟合度为0.997，均方根误差为5.135，得出两者的拟合度均趋近于1，均方根误差均较小，说明拟合效果较好，为后续参数求解奠定了基础。同时，进一步对突变参数及突变特征值进行求解，可得到拱顶沉降的突变参数为μ1=341.74;ν1=-22 106.41，则突变特征值Δ1=1.35×10 10 >0。水平收敛的突变参数为μ1=559.72;ν1= -55 474.47， 则突变特征值Δ1=8.45×10 10 >0。

根据突变分析，得出拱顶沉降、水平收敛的突变特征值均大于零，说明两者的整体稳定性评价均为稳定，且以拱顶沉降的稳定性相对更高，结合水平收敛较拱顶沉降的累计变形量更高，说明隧道变形的累计变形量越大，稳定性越差，这与现场实际相同，验证了本文整体突变分析结果的准确性。

2.2.2 分阶段稳定性分析

类比整体分析过程，也再利用尖点突变理论进行隧道变形的分阶段分析，结果如表1所示。由表1可知，拱顶沉降、水平收敛在不同阶段的拟合度均较趋近于1，且均方根误差均较小，说明各阶段的拟合效果均较好;同时，不同阶段的突变特征量均大于零，说明拱顶沉降、水平收敛的各阶段均处于稳定状态。对比拱顶沉降、水平收敛在相应监测阶段处的突变特征值，均

以水平收敛的突变特征值相对更大，说明水平收敛的稳定性相对更差。其中，结合两者前期的变形曲线，得出水平收敛的前期累计变形量要略大于拱顶沉降的前期累计沉降量，且水平收敛的变形曲线呈持续增长趋势。而拱顶沉降的变形曲线呈先持续增长、后趋于平缓，说明隧道变形的稳定性不仅与累计变形量的大小相关，也与变形曲线的变化过程相关，且以持续增长变形过程的稳定性更差。同时，拱顶沉降、水平收敛的后期变形曲线相似，但以水平收敛的累计变形量相对更大，再次验证了隧道稳定性是与累计变形量相关的，且累计变形量越大，稳定性越差。

对比隧道稳定性的整体分析和分阶段分析结果可知，分析阶段的差异不会影响隧道稳定性的失稳判别，但会影响稳定性的相对程度，即隧道稳定性具有阶段性特征，不同阶段的稳定性具有差异。

2.3 变形趋势分析

根据论文思路，再利用MF-DFA法分析隧道的变形趋势，程序与稳定性分析过程相同，也进行整体变形趋势分析和分阶段趋势分析。同时，根据MA-DFA法的基本原理，q值不宜过大也不宜过小，当q值过大时，会增加计算工作量，降低分析效率;当q值过小时，难以判断隧道变形的多重分形特征，因此，将q值区间设定为-8～8。另外，考虑到原始序列的相关性会对变形趋势判断造成影响，进而采用AR（1）模型对隧道变形的原始监测数据进行处理，以剔除原始变形序列的相关性[14]。

2.3.1 整体变形趋势分析

根据MF-DFA法的基本原理，对拱顶沉降、水平收敛的整体变形趋势进行分析，结果如表2所示。由表2可知，在相应q值条件下，经去相关性处理后的h（q）值均出现不同程度地减小，说明原始序列的相关性对MF-DFA分析的影响确实存在，去相关性处理能减弱变形趋势性。因此，为消除序列相关性对变形趋势的影响，均采用处理后序列的结果进行多重分形分析和趋势分析;各变形序列的h（q）值均随q值的增大而减小，其中，拱顶沉降序列的h（q）值由0.914减小至 0.478， 水平收敛序列的h（q）值由0.908减小至 0.457， 均不为常数，说明各序列均具有多重分形特征。拱顶沉降序列的h（2）值为0.574，而水平收敛序列的h（2）值为0.557，均大于0.5，说明拱顶沉降、水平收敛的发展趋势与前一阶段相同，将会进一步增加，但两者的Hurst指数偏离0.5的程度较小，说明隧道变形的趋势性较小。对比拱顶沉降和水平收敛的h（2）值，得知水平收敛序列的h（2）值略小，说明拱顶沉降的变形趋势要略大于水平收敛。

同时，再对各整体变形趋势分析序列的奇异指数进行求解，结果如表3所示。由表3可知，各序列的分形程度具有差异，且处理后序列的分形程度均不同程度的减小，说明去相关性处理能减弱序列的分形程度;同时，对比拱顶沉降和水平收敛在相应序列处的Δa值，可知拱顶沉降的Δa值相对更大，说明拱顶沉降较水平收敛的分形程度更强;另外，各序列的拟合度均趋近于1，说明求解Δa值的拟合效果较好，分析结果的可信度高。

2.3.2 分阶段变形趋势分析

进一步利用MF-DFA法分析拱顶沉降和水平收敛的分阶段变形趋势，且分析序列均经AR（1）模型的去相关性处理，分析结果如表4所示。由表4可知，两序列在不同阶段的h（q）值均随q值的增大而减小，均不为常数，说明两序列在不同阶段均具有多重分形特征。对比两序列前、后阶段的h（2）值，得知序列后期h（2）值均小于前期的h（2）值，说明后期变形的趋势性不及前期，后期变形趋势趋于减弱，且两序列的后期h（2）值偏离0.5的程度较小，说明两序列的趋势性较小，与整体变形趋势分析结果相符。

同时，也对分阶段变形趋势分析序列的奇异指数进行求解，结果如表5所示。由表5可知，两序列不同阶段的分形程度也具有差异，且前期的分形程度均大于后期的分形程度;在对应分析阶段，均以拱顶沉降的 Δa 值相对更大，说明拱顶沉降较水平收敛的分形程度更强，与整体变形趋势分析的分形程度结果相符;各阶段的拟合度均接近于1，说明各阶段的拟合效果也较好。

对比整体和分阶段变形趋势的分析结果，得出两序列的前期变形趋势性相对最大，整体变形趋势性相对次之，而后期变形趋势性相对最小，但三者均呈正向变形趋势，说明分析阶段不同，不会对趋势性的判斷造成影响，但会对变形的趋势性程度造成影响，这与尖点突变分析的结果相符，验证了两种分析方法的准确性和可信度。

3 結 论

（1）结合成兰铁路松潘隧道的现场监测数据，以尖点突变理论和MF-DFA法为理论基础，构建了高地应力软岩隧道大变形的稳定性评价及变形趋势判断模型，该模型能有效评价隧道变形的稳定性，并判断其变形趋势，为隧道大变形规律研究提供了一种新的思路。

（2） 隧道大变形的整体稳定性判别结果与分阶段稳定性判别结果一致，但稳定性程度具有差异，说明隧道大变形的稳定性具有阶段性特征，与隧道变形的实际情况相符，验证了尖点突变分析的准确性;同时，隧道变形的稳定性不仅与累计变形量相关，也与变形曲线的增长过程相关。

（3） MF-DFA法能有效判断隧道大变形的分形特征及变形趋势，且分析结果与尖点突变分析的结果相符，验证了该方法的准确性和可信度，为隧道后期施工提供了一定的参考。

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引用本文：常 瑶.基于尖点突变理论和MF-DFA法的隧道大变形监测[J].人民长江，2019，50（1）：118-123.

Large deformation monitoring of tunnels based on cusp catastrophetheory and multifractal detrended fluctuation analysis

CHANG Yao

（Shaanxi Railway Institute， Weinan 714000，China）

Abstract：The occurrence of large deformation in soft rock tunnel with high ground stress is inevitable， which seriously affects the construction safety. Evaluating its stability and judging the deformation trend can provide a certain reference for construction. Taking Songpan tunnel on the Chengdu-Lanzhou railway as an example， the stability and deformation trend judgement model for soft rock tunnel with high ground stress was constructed by using cusp catastrophe theory and Multifractal Detrended Fluctuation Analysis method （MF-DFA） to predict deformation. The results showed that the cusp catastrophe theory can effectively evaluate the stability of large deformation tunnel. Songpan tunnel is in a stable state at present， but the tunnel stability state varies in different stages， and its stability is not only related to the cumulative deformation， but also to the growth process of deformation curve. At the same time， MF-DFA analysis showed that the large deformation of tunnel has multifractal characteristics， and has a small positive growth trend. This method provides a new way for researching the large deformation law of tunnels and can be a reference for engineering design and construction personnel.

Key words： soft rock tunnel; prediction on large deformation; MF-DFA; cusp catastrophe theory; high ground stress; Songpan tunnel