知识结构再生长，问题变式在联想

诸士金

摘要：以“生长数学”理念为指导，设计和实施了苏科版初中数学九年级上册第2章《对称图形——圆》复习课第一课时的教学。其教学价值有：彰显圆的元素及元素关系的知识结构;聚焦圆及其他图形之间关系的问题变式。其教学过程主要分为两个环节：借助圆的基本图形，重建知识结构;基于圆的典型图形，进行问题变式。由此得到对复习课的教学反思：关注元素及元素关系的知识结构生长;突出“强化、弱化、互逆化”的问题变式联想;通过“适时分步介入”调整教学节奏。

关键词：《对称图形——圆》复习课知识结构问题变式

苏科版初中数学九年级上册第2章《对称图形——圆》内容较多，常常分为多个课时来复习。其中，第1—4节《圆》《圆的对称性》《确定圆的条件》《圆周角》的主要内容是与圆有关的概念及其基本性质，可以放在一个课时中复习。为了更好地“让复习课成为讲述数学思维的故事，引导学生从不同的视角认识所学的知识，使学生产生别有洞天的感觉”，笔者以卜以楼老师提出的“生长数学”理念为指导，设计和实施了这节课的教学。

一、教学价值

（一）彰显圆的元素及元素关系的知识结构

从图形元素及元素关系的角度来看图形的形状、大小、位置，是数学研究的重要途径。这是一种从宏观到微观的认识，是一种看待世界的观点。较为系统地建立这样的认识和观点的最佳时机就是复习课。因此，在新授课了解了圆的圆心、半径、弧、弦、圆心角、圆周角等元素的定义与有关性质的基础上，复习课重要的教学价值之一便是厘清它们之间的关系，形成结构化认识。具体可以以圆的轴对称性与旋转不变性为基础，梳理这些性质与“基本图形”对应的关系——对图形的分解能力是应用相应性质解决几何问题的重要能力。

（二）聚焦圆及其他图形之间关系的问题变式

复习课承载了对某一阶段知识的综合应用需求，需要由单一的解决问题能力的培养转变为多维的问题解决素养的培养，促使学生“解一题，会一类”。圆的众多元素和元素关系往往体现在包含圆及其他图形的综合性问题中。因此，聚焦圆及其他图形之间关系的问题，以此为基础引导学生变式联想，发现结论并证明，提出问题并解决，可以有效帮助学生体会几何学习的方法，感悟图形研究的途径，是本节课另一个重要的教学价值。

二、教学过程

（一）借助圆的基本图形，重建知识结构

师（在黑板上写好课题，画6个一样大的圆）同学们，今天我们一起来复习《对称图形——圆》这一章前4节的内容。通过这部分内容的学习，我们知道确定一个圆需要两个基本元素，分别是圆心和半径。（板书圆的基本元素）那你知道圆还有哪些相关元素吗？

生圆的相关元素有弦、弧、圆心角、圆周角。

生还有直径、半圆、扇形。

师通过前面的学习，我们知道直径是过原点的弦，而半圆则是直径所对的弧，扇形是由半径和弧围成的图形。

（板书圆的相关元素，形成如图1所示的板书。）

[设计意图：首先，呈现新颖的板书设计，引发学生的好奇和关注，为后续将这部分复习内容的“形结构”显化提供有效的操作平台。然后，直接点明这节课需要复习的内容和需要研究的对象，问题直指圆的基本元素和相关元素，使学生心中有数且不感到困难。这样的板书设计，旨在引导学生对还没有显化的知识结构建立联想的基础。]

师同学们对这些相关元素的认识很清晰。在前面的学习中，我们还发现圆具有轴对称性和旋转不变性。这就决定了圆中的这些元素不是孤立的，而是有联系的，从而形成了圆的一些基本性质。下面，请同学们结合这部分学过的圆的基本性质，画出与之相关的一些基本图形。

（学生画图。教师巡视，发现有些学生只画出一两个基本图形，就不再画下去了。）

师你能借助目前画出的图形复习哪些性质？还有哪些性质没有通过图形体现出来？

（学生继续画图。教师巡视，请学生逐一上黑板在之前6个圆的基础上画出圆的基本图形。）图1

图2

师请大家想一想：你能从这些基本图形里想到哪些性质？

（教师就每个图形提问，学生逐一回答对应的性质，教师在板书上进行结构化连线，形成如图2所示的板书。）

师对于这些性质，我们不能单纯从文字上记忆，而要结合这些基本图形进行理解记忆。

[设计意图：以“形结构”形式进行知识结构的重建，帮助学生回顾基于圆的轴对称性与旋转不变性的相关性质。这样的回顾方式不同于较为传统的以文字和符号语言为主的平铺直叙式，而是以“形”的显化方式唤醒学生脑海里的如贝似星的知识。以“形”助“文”，以“文”构“形”，将几何学习中的主要性质结合基本图形予以体现。]

（二）基于圆的典型图形，进行问题变式

1.由基础习题展开初步联想，渗透数学思想。

师在几何问题中，很多复杂的图形都是由这样的基本图形组合而成的。化繁为简、“化新为故”，是我们解题的基本方向和策略。（出示习题）下面，让我们结合习题来进一步巩固圆的这部分相关性质与基本图形。

习题如图3，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于点G，交⊙O于点E，交AC于点F。你有何发现？怎么得到的？

图3

（学生獨立思考约3分钟。）

师你能发现哪些线段和角的数量关系？你能发现哪些线段之间的位置关系？有没有特殊的图形？请将你所有的发现写下来，然后同桌、前后交流一下你的发现。

（学生书写、交流。教师巡视。）

师（投影出示一些学生的发现）这里有很多结论都是我们之前新课学习中证明过的，但也有几个新的结论。（投影出示一个学生的发现）请大家看一下这位同学的发现：AC=DE。这个发现你能证明吗？

（教师组织学生思考如何证明，写出证明过程，然后投影展示。）

师解决这样的问题，我们一般要经历四个环节。首先，要明确做什么。（板书“做什么：求证AC=DE”）其次，要思考怎么做。（板书“怎么做”）刚才这位同学的思路很清晰。怎么做？我们先看一看要证明的两条线段有什么属性，或者说有什么“身份”。这里，它们可以是圆O的两条弦，也可以是两个三角形的各一条边。这样就至少有两个方案。我们可以先考虑第一个方案，从弦的属性出发来思考。要证明弦相等，结合前面梳理的基本定理，我们要证明它们所对的弧或圆心角相等，即要证AC=DE。由已知条件可得AD=DC，由垂径定理可得AD=AE。这样，三段弧相等，证明AC=DE就水到渠成了。（在“怎么做”后板书“AC=DE←AC=DE←AD=DC，AD=AE”）这样的思考就是“怎么做”的过程。然后，要“做做看”，就是要从条件出发，将证明过程写出来。（板书“做做看：AD=DC，AD=AE→AC=DE→AC=DE”）如果思路正确，那么“做做看”的过程就要注意细节和规范的问题。最后，要在问题解决后反思有什么收获。（板书“有什么收获”）数学题目是做不完的，而反思可以帮助我们对类似的问题一以贯之地进行思考，也就是形成“通法”。那么，大家想一想：通过这个问题的解决，我们的收获是什么呢？

（学生叙述收获。）

师（投影出示另一个学生的发现）你能证明∠DFC=2∠DCF这个发现吗？请说一下思路。

（教师组织学生说出证明思路，并做点评。）

[设计意图：给出开放设问的习题后，给学生足够的时间独立思考，将自己的发现先写下来、互相交流。在这一过程中，学生基于前面基本图形下的主要性质进行联想，获得比较多的发现;在交流碰撞中，提高联想的广度和深度。在此基础上，教师选择“AC=DE”这一发现，组织学生证明，是为了让学生能够对自己的发现进行有条理、有依据的表达。教师的总结还体现了波利亚的解题四步骤思想，渗透了上位的数学思想方法。在教师小结四步骤的基础上，学生已经初步明白了自己所经历的过程。教师继续让学生证明一个新的发现，让学生进一步巩固这个完整的过程。]

2.由变式习题展开进一步联想，培养提问能力。

师我们如果认真观察，便可发现上述习题中的这个图形其实是借助了圆的轴对称性和旋转不变性来研究的，虽然略为复杂，但只要分析清楚研究对象的“身份”，寻求与其“身份”关联的元素，借助对基本图形的分解和由条件得到的“最近联想”的重组，就可以解决。（出示变式）下面，我们继续在这个图形上变化，请看变式。

变式如图4，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D是劣弧AC的中点，DE⊥AB于点G，交⊙O于点E，交AC于点F，连接BD，交AC于点H。之前，多数同学发现了线段和角的数量关系，一些同学还发现了一些特殊的三角形，那么在连接BD的基础上，你能找到哪些特殊的三角形？你能证明吗？

图4

（学生独立思考约2分钟。）

生从直观上看，△ADC、△ADE和△ADF是等腰三角形。

师对比原问题，这里连接了BD，你还有哪些新的发现？

生△DFH也是等腰三角形。

师△DFH是等腰三角形，你能证明吗？大家写写看。

（学生写出证明过程，然后进行展示。）

师△DFH是等腰三角形的发现源于“连接BD”的变化，这实际上是显化了圆的一条弦。因此通过添加元素强化条件，可为我们对图形进行变式提供方向。

[设计意图：在原来习题的基础上通过增加“连接BD”的条件，引导学生进一步发现可能得到的新结论。这是对基本图形深层次的挖掘，是对学生“化繁为简”的能力深层次的考验。这里，期待学生能够“化新为故”，使其得到的新结论基于前面研究中的获得。这种“获得”体现在三个层面：首先，习题中联想得到的结论是变式中进一步联想的基础;其次，习题中进行联想的方向（线段、角的数量关系、位置关系及图形的形状特殊性）为变式中的“再发现”提供了研究途径;最后，变式添加条件的方式相当于显化了圆的一个相关元素（弦），这样通过添加相关元素来添加条件的方式也为学生在自主学习中进行图形变式提供了方向。]

师你还能提出什么问题供大家思考？

生△DFH是等边三角形吗？

师这个问题很好！谁来回答？

生我觉得不是的。

师那你觉得有没有可能是？

生有可能。

师什么情况下可能？

生AC是∠DAB的平分线时。

师AC是∠DAB的平分线，那从点C的角度来说，在圆上什么特殊的位置呢？

生点D、C是AB的三等分点。

师很好！怎么来证明呢？我相信在座的一些同学会有思路。我们留在课后交流。（稍停）今天这节课，老师和大家一起，从基本元素出发，借助“形结构”，回顾整理了圆及相关的概念和性质，形成了知识结构。在解决问题时，我们结合波利亚的解题四步骤，将复杂的图形结构进行了分解重组。对于一些最近联想的问题，要根据缩小已知和目标的差距进行演绎，从而提高我们的推理能力。（稍停）当然，圆的学习并无止境，圆又常和其他图形存在一些内在的联系。（出示图5）大家可以连接变式图形中的BE、BC，再把圆隐去，从而得到这样一个由三角形和四邊形组成的复杂图形。在后面的学习中，我们如果能做到“眼中无圆，而心中有圆”，那么解决问题的途径就又多了一条。

图5

[设计意图：在学生猜想结论（发现）的基础上，让学生提出问题，进一步引导学生强化条件进行联想，培养学生的问题意识，拓展学生学习的可能空间。之后，教师没有提出“你有什么收获”这样的问题来进行小结，而是基于学情，概括性地“点睛”“收汤”，从而升华学生本节课的数学活动经验。最后，留下一个数学味道更浓、思维含量更高的变式图形，把学生的思考延伸到课后。]

三、教学反思

（一）关注元素及元素关系的知识结构生长

“结构化是能力发展的前提之一。”复习课要关注知识结构的重建及“再生长”。本节课的复习，不只是让学生体会到圆的主要性质其实就是基于圆的整体性质（轴对称性与旋转不变性）的元素及元素关系的特征，还应该启发学生借助这样的理解，认识几何图形性质的研究与学习主要可以通过三个观点来看：一是整体与整体、整体与局部、局部与局部的联系;二是变中不变、不变有变;三是分解重组、转化为一。这三个观点从本质上理解则是知识的结构观、系统观和模型观，是数学知识“再生长”的体现。

（二）突出“强化、弱化、互逆化”的问题变式联想

复习课相对于新授课而言，学生已经有了較为全面的知识和技能基础。选择好的习题作为载体，进行数学思想方法的渗透和问题解决能力的培养是复习课的主要特征之一。本节课以一道题为“母题”，进行不断“强化”条件下的发现探究，是对这个载体进一步变式的一种类型。在教学中，我们不仅需要关注这样的设计，还应该启发学生自主进行这样的演绎。我们需要提供变式的方法，即“强化、弱化、互逆化”以及“强化”下的“特殊化”和“弱化”下的“一般化”;还要指导学生明确对条件进行“三化”或“五化”的出发点和方向。本节课聚焦“强化，即添加元素来发现可能出现的新的线段、角的数量关系，以及图形的位置关系、特殊性”。在这样的研究过程中，学生会逐渐形成自己的变式联想。

（三）通过“适时分步介入”调整教学节奏

好的复习课既要有数学本质及思想的“学术味”，也要有学生学习的“人情味”。有了“学术味”的复习课能够凸显数学的本质，将数学知识的内在联系显化;有了“人情味”的复习课才能让学生领悟数学思想，自然而然地建立数学认知结构。如何结合学情，将教师的数学理解变成学生的数学理解，途径不一，方法很多。复习课虽然有系统性的特征要求，但是，对于学生自主形成数学理解，可以通过“适时分步介入”来调整节奏。“适时”是对学生在数学问题抛出后的学习状态加强关注，以学生学习投入程度的表征为参考，选择适合的时机进行教学干预。“分步”是对大问题在预设之后根据“适时”情况进行当机立断的分解，因此多数情况下预设性和生成性追问必不可少。“介入”不是简单的代替和讲解，也不是个别优秀的学生代表与教师之间的“眉来眼去”，更多的是以小问题进行的“再启发”和进一步借助辅助元素、辅助技术或辅助活动的“再引导”。这样，我们的复习课才可以避免“老路复走无新调”的困境，才能够体现数学知识的“再生长”性，才利于学生自然地走进“一览众山小”的境地。

本文系江苏省南京市中小学教学研究2017年度第十二期课题“初中数学生长型教学研究”（编号：2017NJJK12Z18）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1]卜以楼.用生长型构架进行中考复习——“增长率问题”复习案例[J].中国数学教育（初中版），2010（3）.备课贴士