排列组合问题的案例研究

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(天津市第一商业学校)

一、引言

数学的排列组合问题在高中阶段数学课程中与函数、三角计算、数列等内容的知识关联性不强，相对比较独立，是学习概率问题的知识基础和思维基础。学生对排列组合问题的学习存在一定的抵触和畏惧心理，原因在于其知识体系与实际生活结合紧密，基本上不存在套用公式及定式思维的内容，对学生分析推理问题能力、数学思维严密性及逻辑性要求比较高。因此，消除畏难情绪是提升学生对排列组合问题学习效果的重点工作，也是最大的难点。本文对排列组合问题涉列的题型进行了分析探究，形成案例，帮助学生找到内在的解题规律，提高学习兴趣和学习氛围。

二、案例研究

(一)站队问题

案例一：7个人站成一队，问：

1.共有多少种不同的站队方法？

2.甲站中间，有多少种不同的站队方法？

3.甲乙必须挨着，有多少种不同的站队方法？

4.甲乙不能相邻，有多少种不同的站队方法？

5.甲必须站在乙的右侧，有多少种不同的站队方法？

分析过程：

解题小结：站队问题为排列问题；有特殊要求的元素或者位置采用优限法，优先安排有要求的元素或位置，再安排其他元素；相邻问题分两步采用捆绑法，先进行整体排列，再局部排列；不相邻问题分两步采用插空法，先安排其他元素再把相邻元素进行插空。

(二)数字问题

案例二：

1.用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.用0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

3.用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的三位偶数？

4.用1、2、3、4、5可以组成多少个三位数？

分析过程：三位数的数位从高至低分别为百位、十位、个位。

解题小结：解决数字问题时要重点审题是否数字可以重复，无重复情况属于排列问题，可重复情况数字个数不会减少；可选数字中含有0时，要注意0不能放在首位，一般有先考虑首位。

(三)产品问题

案例三：对某工厂生产产品进行检验，共100件，有2件次品，从中抽取3件，问：

1.共有多少种不同的抽取方法？

2.结果恰有1件次品的抽取方法有多少种？

3.结果至少有1件次品的抽取方法有多少种？

分析过程：100件产品含2件次品，则正品98件。

解题小结：抽取产品问题为组合问题，解题过程注意分步骤进行，此外在该类问题中至少、至多问题比较常见，如遇正向分析情况较多、计算任务较重，则采取逆向思维的方法，即用整体情况总数减去不符合事件的情况数。与产品问题相同的还有派人问题、摸球问题等。

(四)投信问题

案例四：

1.要求把4封信邮寄出去，邮局有3个信箱，问：有多少种不同的投递方式？

2.学校安排5名实习生做毕业实习，共有4家实习单位可供选择，问：有多少种不同的安排方式？

3.有3名学生，假设按照365天计算，问：有多少种不同的过生日的日期方式？

分析过程：

解题小结：投信问题具有典型的代表性，属于可重复选择使用的问题，此类问题在解决过程中需要注意事件的对象是谁，按照事件的核心对象进行分步研究。与投信问题相同的问题还有旅店入住问题、过生日问题及编制电话号码问题等。

(五)分配问题

案例五：

1.把5本不同的书分给5个学生，每人一本，问：有多少种不同的分配方案？

2.把5本不同的书分给4个学生，每人至少一本，问：有多少种不同的分配方案？

分析过程：

另外，还有其他案例问题，在此不再赘述。

三、结束语

学生解排列组合问题过程中经常出现的错误情况有两个：一是对于“排列”与“组合”不能很好地区分，解题中出现混淆；二是数学解题与现实常规操作的差异性不能很好地把握，解题中出现“遗漏”和“重复”现象。笔者只是归纳了部分排列组合问题的案例，构建了引领式的案例解题模式，排列组合问题的应用还很广泛，解题思路灵活多变，本文不可能涵盖全面，通过案例研究希望帮助学生形成严密的数学思维、培养理论联系实际解决问题的能力、促进全面发展。