建立模型 巧妙解答

赵香云

“物块由静止沿光滑斜面滑到底端所用的时间及相关问题是一类求解比较费时，运算比较烦琐的题目.但要利用“等时圆”模型处理的话，则能达到化繁为简，省时易解之效果.

所谓“等时圆”，就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆（或光滑斜面）由静止下滑，到达圆周的最低点（或从最高点到达同一圆周上的各点）的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间.

“等时圆”的三种典型情况：

甲

乙

丙

等时性证明：

设圆的半径为R，则斜面长x=2Rsinθ，物体加速度a=gsinθ.

由运动学公式x=12at2可得t=2xt=4Rg.

由此可见，物体下滑的时间与倾角θ无关，等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间.

例 如图1所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处旋转一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上，木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块从A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系（）.

A.α=θ

B.α=θ2

C.α=2θ

D.α=θ3

常规解法：

过B点向AC作垂线，垂足为D，令AC长为h，BD长为x，则

h=xtanα+x·tanθ ①

木板AB的长L=xsinα ②

物块下滑的加速度a=g·cosα ③

根据运动学公式知L=12at2 ④

由①②③④得t2=4hcosθg[cosθ+cos（2α-θ） ] .

当cos（2α-θ）=1即α=θ2时，t有最小值.

下面，用“等时圆”来处理.

在AC上找一点O，以O点为圆心，作一圆，使A、B位于圆上且该圆与斜面相切于B点，如图2所示.由“等时圆”可知该情形下物块滑到斜面用时最短.θ为△OAB的外角，由几何知识可知θ=2α.

利用该模型可以很巧妙地处理这种类型的问题.例如《大一轮复习讲义》中的一道题目：为了使雨滴能尽快地淌离房顶，要设计好房顶的高度.设雨滴沿房顶流下时做无初速度无摩擦的运动，那么如图所示的四种情况中符合要求的是（）.

A

B

C

D

利用“斜面模型”处理，要先受力分析.令斜面与水平面得夹角为θ，屋顶的宽度为2L，求出加速度α=g·sinθ，利用运动学公式x=12at2，得t=4Lg·sin2θ，可知θ=45°时，用时最短.

而利用“等时圆”来处理的话，只要画出图来，答案就一目了然.解答如下：

过房顶顶点O作竖直线，以房顶宽度的一半L为半径画圆，分别与竖直线、水平线切于O、P两点，如图3所示.显然，利用“等时圆”知，沿OP方向淌下用时最短，斜面与水平面夹角为45°，故選C项.

可见，在教学中要引导学生将问题进行分类，总结规律，建立模型，巧解问题，从而使学习高效化，真正达到培养学生学科素养的目的.