基于等压差充电时间的锂离子电池寿命预测

刘 健， 陈自强， 黄德扬， 郑昌文， 周诗尧， 姜 余

(上海交通大学 海洋工程国家重点实验室， 上海 200240)

近年来，锂离子电池在电子产品、电动车、工业储能等领域的应用越来越普及，锂离子电池剩余寿命(Remaining Useful Life, RUL)预测有着重要的研究意义和实用价值.在充放电使用过程中，锂离子电池会产生容量减少与内阻增大的现象，导致其性能不断衰退，直至寿命截止.采用一定方法预测锂离子电池的未来状态与参数变化趋势，可实现锂离子电池寿命预测[1].

预测锂离子电池寿命的方法主要有基于模型和基于数据两类[1-4].为降低模型复杂度，基于模型方法也可通过经验模型拟合电池容量退化曲线，并利用卡尔曼滤波、粒子滤波等进行模型外推实现RUL预测[5-6].基于数据方法如自适应滑动平均、支持向量机以及神经网络等直接从数据中挖掘隐含的电池健康状态信息及演变规律[7].但是，以上方法只能给出电池寿命预测的估计结果，不具备不确定性表达能力.

在线测量电池容量或阻抗等较为困难，若利用容量或阻抗数据进行电池寿命直接预测，往往因历史数据有限而导致所建模型的精确性大大降低.针对直接预测电池寿命不易实现的问题，基于可监测的电流、电压以及温度等参数预测电池寿命的间接预测方法逐渐被采用.有研究者从放电过程入手构建了等时间放电压差[8]、平均放电压降[9]、放电电压取样熵[10]等健康因子.还有研究者采用混合动力脉冲测试的电压取样熵作为健康因子来估计电池容量变化以实现RUL预测[11].然而，基于放电过程的方法均基于恒流放电方式进行研究，而在实际应用中因工况变化和外界环境影响，大多数情况下电池无法满足恒流放电的要求，因此该方法的实际应用受到限制.

针对上述问题，本文在恒流充电过程中提取等压差充电时间序列，基于最小二乘法与容量建立广义回归线性模型；采用线性均值函数、平方指数协方差与周期协方差函数作为组合核函数建立高斯过程回归模型；利用粒子群优化算法全局搜索最优超参数以优化模型；将等压差充电时间作为健康因子，通过预测等压差充电时间进行锂离子电池寿命预测.

1 改进高斯过程回归模型

1.1 高斯过程回归模型

高斯过程回归(Gaussian Process Regression, GPR)模型[12]是一种非参数模型，可通过先验知识实现贝叶斯框架下的状态预测，输出预测均值、方差和置信区间，预测结果具备不确定性表达能力.GPR模型已广泛用于股票预测、油井液面预测[13]以及时序分析预测[14]等领域.

考虑如下回归问题

(1)

由式(1)得到y的先验分布为

(2)

式中：Y为观测值的集合，Y={y1,y2, …,yn}；X为训练点集合，X={x1,x2, …,xn}；K(X,X)=[Kij]为n×n阶对称正定协方差矩阵，矩阵元素Kij=k(xi,xj)用来描述xi和xj之间的相关性，i=1,2,…,n，j=1,2,…,n；I为n阶单位矩阵.

y和预测值的联合先验分布为

其中：f*为预测值的集合，f*={f(x*1),f(x*2), …,f(x*n)}；X*为测试输入数据.

f*的后验分布为

即预测值的集合f*的高斯过程回归模型.其均值矩阵和协方差矩阵分别为

(3)

cov(f*)=K(X*,X)-K(X*,X)

(4)

模型预测输出的95%置信区间为

确定均值矩阵和协方差矩阵后，通过训练过程对超参数进行优化可得到GPR模型.GPR模型一般默认为零均值函数，常采用协方差函数作为平方指数函数：

(5)

超参数优化一般通过最大似然法和共轭梯度法实现，具体为：先求得训练数据在条件概率下的负对数似然函数，再对超参数求偏导，最后采用共轭梯度法优化使偏导数取最小值得到超参数最优解，即可求解高斯过程模型.

1.2 组合核函数

在锂离子电池的使用过程中，随着电极和电解液中副反应的进行，锂离子被不断消耗，因此电池容量呈现退化趋势.然而，在电池充、放电的间隙，副反应产品有可能消散.和前一个充放电循环相比，下一个循环周期的电池性能可能更好，电池容量有可能增加，此现象称为容量再生[15].该现象造成锂离子电池容量总体呈衰减趋势，同时伴随着局部动态波动变化.本文涉及容量为电池充满电后在一定放电条件下完全放电所放出的最大可用电量.

为进行电池寿命的精确预测，需考虑锂离子电池两种不同的容量变化行为.因此，对于高斯过程回归模型，仅单一形式的协方差函数不能满足预测需求，需将多种协方差函数进行组合.在满足非负定性的要求下，协方差函数相加或相乘，以构造组合协方差函数描述复杂问题[15].本文将容量再生现象近似看为正常容量退化趋势上的周期性变化，故可选用周期协方差核函数:

其中：l2为方差尺寸；p为周期性参数.

在此基础上选用平方指数协方差函数来描述局部性变化，将周期协方差函数和平方指数协方差函数的和作为组合协方差函数，使计算函数同时具备泛化能力和局部学习能力.均值函数选择线性函数:

m(x)=ax+b

其中：a和b为任意常数.

1.3 粒子群算法

针对共轭梯度法对初始值依赖性强且易陷入局部最优等问题，选用粒子群优化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法自动搜索最优超参数，以优化GPR模型.PSO算法初始化为一群随机粒子，通过迭代寻找最优解，因此具备处理方便和全局优化等特点[14].

初始化粒子群后，更新粒子的速度和位置：

其中：zh、vh分别为第h个粒子当前位置和速度；m为当前迭代次数，最大迭代步数为100；w为惯性权重；c1为个体学习因子，c2为群体学习因子，c1和c2均为非负常数；r1和r2为分布在[0，1]间的随机数.本文取粒子群规模为24，wmin=0.4，wmax=0.9，c1=2，c2=2.

将GPR模型训练过程中的训练值与实际值之间的均方误差作为每个粒子的适应度值，以均方误差最小为优化目标.在每一次迭代过程中，粒子通过跟踪粒子本身最优解(P)和群最优解(G)更新个体位置.粒子每更新一次位置，通过比较新粒子和P、G的适应度值来更新P和G位置，直至达到目标阈值或最大迭代步数：

2 健康因子构建

2.1 实验数据集

本文所用锂离子电池的循环寿命实验数据来自美国国家航空航天局 (National Aeronautics and Space Administration, NASA)卓越预测中心和马里兰大学的公开数据集[6].NASA卓越预测中心采用额定容量为2 A·h的18650型锂离子电池在室温下进行充电、放电和阻抗测试循环寿命实验.具体过程为：先以 1.5 A的电流进行恒流充电，当电池电压达到 4.2 V后转为恒压充电(截止电流为20 mA).然后，以2 A电流进行恒流放电，直至放电截止电压，以电流倍率(C)表示电池充放电电流大小与电池额定容量的比率关系.在充电和放电过程中利用电化学阻抗谱测量电池的阻抗.本文选用其中B5和B6号电池，其放电截止电压分别为 2.7，2.5 V，容量阈值均为 1.4 A·h.马里兰大学采用额定容量为 1.35 A·h的钴酸锂电池，其循环寿命实验流程与NASA卓越预测中心的实验方法相似，具体参数如下：恒流充电倍率为 0.5C，恒压充电电压为 4.2 V(截止电流50 mA)，恒流放电倍率为1C，放电截止电压 2.7 V.本文选用其中的CX2-36、CX2-37号电池，容量阈值均为 1.08 A·h.

2.2 等压差充电时间提取

在实际应用中，基于安时积分法测量锂离子电池容量时存在累计误差的问题.此外，大多数工况无法满足电池恒流放电的要求，因此限制了基于恒流放电方式的间接预测方法的应用.而锂离子电池充电过程不会受工况变化的影响，且多为恒流-恒压充电方式，充电过程相对稳定,便于分析，因此本文从锂离子电池充电过程中提取与寿命预测相关的健康因子.

从锂离子电池循环寿命实验数据中选取恒流充电过程进行分析，得到不同循环周期的恒流充电电压与电流变化的关系，如图1所示.图中：I为电流；Ub为电池电压；N为充放电循环周期.随着电池充放电循环的不断进行，电解液不断消耗，极片活性不断降低，电池阻抗增大、容量降低，充电时也较快达到截止电压，恒流充电时间不断减少.因此，采用锂离子电池的电子产品在使用时间较长后，会出现充电迅速的现象.

图1 B5电池充电电压与电流变化曲线

将锂离子电池每个恒流充电周期中电压从低电压升至高电压的时间间隔称为等压差充电时间.在实际应用中，锂离子电池满充满放情况较少，故本文选取恒流充电电压从 3.9 V上升至 4.2 V的时间间隔作为等压差充电时间.

B5锂离子电池容量(Q)和等压差充电时间(Δt)随充放电循环周期的变化曲线如图2所示.随着电池充放电过程的不断进行，等压差充电时间整体呈衰减趋势，且存在局部波动变化，与容量变化趋势相似，两者存在一定相关性.

图2 B5电池容量与等压差充电时间随充放电周期的变化曲线

为进一步分析，应用线性基底扩展建立电池容量与等压差充电时间的广义线性回归模型，可通过添加平滑函数来描述两个变量之间的线性或非线性关系[16]：

Qi=AΔti+Bln Δti+E+εi

(6)

式中：Qi为第i个充放电周期的电池容量；Δti为第i个充放电周期的等压差充电时间；A和B为预测因子的系数；E为常数；εi为误差项.线性项AΔti用于改进等压差充电时间的衰减过程，使其衰减过程的斜率与电池容量的退化过程一致；Bln Δti描述了电池容量和等压差充电时间之间的非线性关系.

用误差平方和(ES)和确定系数(RS)表示广义线性回归模型的误差大小与拟合程度：

(7)

(8)

图3 B5电池广义线性回归模型拟合曲线

所选4个电池的模型拟合评价结果见表1.可以看出，4个电池的ES值较小；除CX2-36电池外，其余3组电池的RS值均接近于1.说明所选模型的拟合效果较好，误差较小.基于上述结果可知，等压差充电时间和电池容量之间的相关性很高， 因此可以将等压差充电时间作为健康因子进行电池的RUL预测.

表1 广义线性回归模型评价结果

2.3 基于等压差充电时间的预测方法

在实际应用中，可在线采集锂离子电池前k个充放电周期恒流充电过程中的等压差充电时间序列数据，以充放电循环周期为输入，相应的等压差充电时间为输出，结合训练所采集的数据建立高斯过程回归模型.基于广义线性回归模型得到电池寿命预测结果.

模型建立后，每到下一充放电循环周期，将在线获取的新数据和之前获取的数据同时训练，建立新的高斯过程回归模型.由于锂离子电池寿命预测对实时性要求不高，所以在每个充放电过程中进行一次寿命预测.

3 实验结果与分析

3.1 核函数的影响

选取B5锂离子电池，以第100个充放电周期为预测起始点，以零均值函数和平方指数协方差函数作为基本核函数与 1.2 节中的组合核函数进行比较，结果如图4所示.由图4可知，基于组合核函数的GPR模型的容量随充放电周期的增加呈衰减趋势并伴随局部波动变化，该变化规律与电池容量真实退化曲线相似.而基于基本核函数的GPR模型的容量预测曲线仅随充放电周期的增加呈现总体退化趋势，并无局部波动变化，未呈现容量再生现象，说明其预测效果较差.

图4 B5电池两种核函数的预测结果

以平均绝对百分比误差(MAPE)和方均根误差(RMSE)作为模型的电池容量预测评价标准：

(9)

(10)

MAPE和RMSE越小，模型的预测精度越高.4个电池基于组合核函数以及基本核函数的MAPE和RMSE计算结果见表2.可以看出，4个电池基于组合核函数的GPR模型容量预测的MAPE值低于2%，RMSE值不超过 0.020 A·h，均小于基本核函数的GPR模型预测误差值，表明基于组合核函数的GPR模型预测精度更高.由于组合核函数的GPR模型能很好地预测容量再生现象，所以具备良好的泛化能力和局部变化学习能力.

表2 两种核函数的评价结果

3.2 基于等压差充电时间的RUL预测

选取B5和B6锂离子电池比较基于容量预测和基于等压差充电时间预测的电池寿命，结果如图5和6所示，其中基于Δt-Q预测为基于等压差充电时间预测.基于容量(Q)预测是直接的预测方法，在离线状态下利用充放电周期数和电池容量训练GPR模型，将定充放电周期数作为输入后直接输出电池容量预测结果.B5、B6电池的等压差充电时间预测曲线随充放电周期增加呈衰减趋势，伴随着局部动态波动变化.基于容量直接预测的容量变化曲线和基于等压差充电时间预测的容量变化曲线均呈现局部波动变化，但有时和容量真实变化趋势相反，这是由于本文选择的协方差函数是具有光滑和稳定性质所造成的.

图5 电池等压差充电时间预测结果

图6 电池直接与间接RUL预测结果

4个电池在2个预测起始点基于上述两种方法的寿命预测结果见表3.从表3中可以看到，对于B5和B6电池，2种方法的预测结果绝对误差不超过5个周期；除B6在以第100 周期为起点的预测结果相对误差较大外，其余预测误差均在10%以内；CX2-36与CX2-37电池预测绝对误差在20个周期以内.B6电池在以第100 周期为起点的预测结果相对误差较大的主要原因是预测起始点离寿命截止点较近，容量真实曲线与预测曲线均波动变化，两者存在一定偏离造成相对误差偏大.GPR模型预测结果还会输出置信区间.从表3可以看到，真实RUL值都在GPR模型预测的置信区间范围内.对比分析发现，基于等压差充电时间的寿命预测效果等同于基于容量的寿命预测，但基于等压差充电时间测量的方法具有在线应用能力.

文献[9]将电池恒流放电500～1 500 s之内的平均放电压降作为健康因子，用二次函数 (Quadratic Function，QF) 拟合方法和基于快速边缘似然最大化优化的相关向量机 (Optimized Relevance Vector Machine, ORVM)进行RUL预测，通过平均放电压降阈值来判断电池是否失效.选取B5锂离子电池，将本文基于等压差充电时间的GPR模型RUL预测结果与上述方法进行对比，结果见表4.通过对比可知，一方面，在两个不同预测起始点，本文方法预测误差分别为2个周期和1个周期，均小于优化相关向量机和二次函数拟合方法预测误差；另一方面，从预测相对误差来看，本文方法预测相对误差在5%以内，优化相关向量机误差在10%左右，二次函数拟合方法误差在50%左右；最后，二次函数拟合方法预测结果不具备不确定性表达能力，而本文方法和优化相关向量机均可输出置信区间，为预测结果提供更多参考信息.因此，本文基于等压差充电时间测量的GPR模型RUL预测结果优于基于平均放电压降的二次函数拟合方法和优化相关向量机方法.

通过分析不同种类电池的RUL预测结果、基于等压差充电时间与基于容量的RUL预测结果以及基于等压差充电时间与基于平均放电压降的RUL预测结果，验证了本文基于等压差充电时间构建的锂离子电池寿命预测方法的有效性、适应性及在线适用性.本文所提方法可用于实际应用中锂离子电池寿命预测.

表3 4个电池的直接与间接RUL预测结果

表4 B5电池3种方法RUL预测结果

4 结语

本文针对锂离子电池在线寿命预测及容量非线性退化问题，构建了基于等压差充电时间的RUL预测方法.通过实验证明本文所提方法可有效预测容量非线性退化轨迹，且具备良好的泛化能力和局部变化学习能力，容量预测的平均绝对百分比误差值小于2%，方均根误差值不超过0.020 A·h.具备在线应用能力的同时，具有较高的预测准确性及不确定性表达能力.预测效果等同于基于容量的直接预测，并且优于基于平均放电压降的优化相关向量机方法.