重视渗透数学文化 培养学生数学素养*——以知识点“黄金分割”为例

(无锡市第一女子中学,江苏 无锡 214002)

1 问题提出

《全日制义务教育数学课程标准(2011年版)》和《普通高中数学课程标准(2017年版)》将数学素养作为课程培养目标，国际学生评估项目(简称PISA)认为：数学素养是个体在各种情况下形成、使用、诠释数学的能力.它能帮助作为一个创新、积极和善于反思的公民认识数学在世界中所扮演的角色，并做出良好的判断和决定[1].然而，许多教师在教学中只重视数学知识的传授，轻视数学文化的渗透，难道数学知识就是学生数学素养的全部吗？解题能力是衡量学生数学素养的唯一标准吗？本文力图通过初高中衔接知识“黄金分割”，说明数学文化在提高学生数学素养中的重要意义，并给教师教学提出几点启示.

2 黄金分割蕴含的数学文化

齐龙新先生认为：数学文化包含知识系统、工具系统、价值系统和史实系统四个层面的内容.其中，知识系统是数学文化的物质基础，工具系统是数学文化的应用框架，价值系统是数学文化得以发扬的源泉，史实系统是数学文化的历史积淀，这四大系统构成了数学文化这座大厦[2].黄金分割知识是苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级下册的内容，在考纲中属于“边缘考点”.然而，它却是被德国著名天文学家、物理学家、数学家开普勒称作的几何学两大瑰宝之一，足见其重要地位和价值.

2.1 知识系统

学生进而可求得线段的黄金分割点有两个，并能计算线段黄金分割点的位置.数学知识的传授无疑是一种数学文化的传播，没有数学的知识体系，也就没有什么数学文化了.

2.2 工具系统

随着科技的发展以及数学文明的积累，跨学科交流日趋频繁，数学的应用更是体现在方方面面.比如涉及对群体的描述，可借助集合语言；研究供求、效益、增长率等经济学问题，可以借助函数；研究曲面图形问题，可以利用积分等等.但受限于目前初高中课程内容设置的局限性，无法为学生提供足够的工具，这是学生感到数学学习无用的重要原因之一.把数学文化渗透到教学中，就是要鲜明突出这种工具性作用.

黄金分割在科学、艺术、建筑、技术等领域有着广泛的运用，是数学工具性的重要体现.许多气势雄伟的建筑蕴含黄金分割，如希腊神殿、多伦多电视塔；名垂千古的雕像中蕴含黄金分割，如米洛斯的“维纳斯”“雅典娜女神像”；绚丽奇妙的绘画中蕴含黄金分割，如达芬奇的“蒙娜丽莎”、拉斐尔的“圣女像”；慷慨激昂的曲谱中蕴含黄金分割，如莫扎特的《D大调奏鸣曲》、贝多芬的《悲怆奏鸣曲》.此外，摄影中的构图比例、股市行情中的黄金分割线、军事中的排兵布阵等，都与黄金分割这一古老而神奇的数学瑰宝紧密联系.教师可通过对所授知识的价值性的渗透，使学生认识到数学对他们将来所从事的行业是有用的，数学是他们未来所从事工作的基础性工具.

2.3 价值系统

如果说工具系统是数学文化的显在体现，那么数学的价值系统具有隐性且重要的意义.数学是训练和培养人思维的重要学科，将潜移默化地影响人们的思考方式和提高人们的认知水平，包括直观、抽象、建模、类比、推理逻辑、数据处理等，而且还常与高考数学的命题背景或解题结果相关联.

图1

1)双曲线的离心率e=______；

(2012年湖北省数学高考理科试题第14题)

解1)由于以A1,A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则点O到直线F2B2的距离为a，因此在△F2OB2中，

又c2=a2+b2,联立可得

(e2-1)2=e2,

于是

此高考题考查圆锥曲线的性质以及含字母代数式的运算.求出该双曲线的离心率恰与黄金分割数相关(黄金分割数的倒数，斐波那契数列通项中的重要常数)，命题者将黄金分割数蕴藏于出题艺术中，计算出的结果给学生以美的享受.

不仅如此，数学的隐性价值还有助于培养学生用数学眼光观察世界的能力，用数学的思维方式去处理各种现实问题.

2.4 史实系统

数学史实是体现数学问题与概念、理论与方法来龙去脉的重要依据.教学中数学史的渗透有助于学生建立数学的整体意识，培养学生学习数学的兴趣，形成数学家式的思维模式，感知数学家们在探求道路上的不易，从而感悟数学观念和文化内涵.

古希腊雅典学派数学家欧多克斯首次证明：正五边形的每两条对角线被一个交点分成两段，则整条对角线与较长线段之比等于较长线段与较短线段之比.在柏拉图学派的欧几里得编撰的《几何原本》中也有多处记载有关“黄金分割(数)”的成果.《几何原本》中许多图形蕴含丰富的数学语言，若对图形进行深入挖掘，可推出一系列数学结论，从而更有效地深究一些数学问题的来源.

(2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学自主招生题第2题)

解得

图2 图3

点F,G是对角线BE的黄金分割点，同时点F是线段BG的黄金分割点，点G是线段FE的黄金分割点，这种循环还展现了黄金分割的自衍性.

由此，我们还可得到利用尺规和量角器作出线段AB黄金分割点的一种简易方法(如图3)：在线段AB的中垂线上取点Q使得∠ABQ=36°，作线段BQ的中垂线与线段AB交于点P，则点P是线段AB的一个黄金分割点.

3 数学文化对培养学生数学素养的重要意义

朱德全先生认为：数学核心素养的构成要素具体为数学思维、数学方法、数学思想和数学人文精神[3].数学知识是数学文化的载体，教师通过知识的传授丰富学生文化的内涵，而适时渗透数学知识的应用价值、探索历程或数学家们的人文精神对培养学生数学素养起催化作用.

3.1 激发学生学习数学的兴趣

按照数学史与数学教育之间的关系(简称HPM)的观点，数学史教育能激发学生学习数学的兴趣，更高效实施数学“发生教学”模式，使数学的课堂教学走向学生的深度学习.《几何原本》《九章算术》等都是重要的数学资料，通过在教学中融入数学文化，学生可以在发展和认知的冲突中亲历数学知识的建构历程，了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，培养和发展数学家式的思维模式，从而提高自身的数学素养和创新能力.

3.2 提高问题探究的起点

在试题中融入数学史已不少见，此类考题在考查学生思维能力的同时，使学生从历史角度体会数学文化的价值.熟悉、研究数学史可以高屋建瓴地深究数学问题的题源，从而提高数学探究的起点.

(2009年陕西省数学高考理科试题第22题)

计算得

故x2n+2

3.3 发展学生数学素养整体性、连续性的纽带

数学知识的内化是螺旋式深入的过程，学生数学素养的培养和发展也呈现这一特征.教学中渗透数学文化，有助于学生形成对数学的整体意识，认识数学知识各分支之间的关系，建立起从初中到高中、从高中到大学的数学知识的纽带，使学生的数学素养得到传承.

意大利数学史家洛里亚强调：数学史是连接中学数学与大学数学的纽带.黄金分割或是斐波那契数列在大自然许多场合中都能寻得它们的踪迹，学生在建立对数学知识整体意识的同时，不断感受数学的奇妙，这场数学与生活妙不可言的相遇将持续有效地激发他们更加深入地探究数学问题.

4 给教师教学的几点启示

4.1 用数学文化的观念追究学生疑问

站在数学史的高度上深究问题的题源，对提高学生的解题能力大有裨益.问题是数学的核心，数学史上许多著名猜想、公式、定理都是丰富的命题宝库.将这些问题渗透到数学教学中，通过教师引导下的学生探究，达到“教师答疑解惑的几分钟，相当于数学史进展的几百年”的教学效果.使学生能更好地理解数学，提高数学素养.

4.2 教师不是数学文化的最大供求者

学生数学素养的提高是数学文化、数学能力内化的过程，教师的作用更多是启迪与引领.课堂教学中教师要基于教材知识，有选择性地指导学生对知识进行发散学习，提炼知识中蕴含的思想方法、来源背景、框架体系等，可以以课后探究的形式让一部分有能力的学生更多地参与探索，提高他们探究发现的积极性，更加深入全面地开发培养学生的实践能力和创新意识.

4.3 提高专业素养，传承数学文化

知识需要衔接，文化更要传承.以题论题的教学方式在很大程度上会增加学生的挫败感.教师以宽广的数学文化为底蕴教导学生，不仅能更好地衔接“初中—高中—大学”的数学教育，而且能让数学更具感染力，在潜移默化中提高学生的数学素养.