概率动态认知逻辑综述

张志金

摘要：认知逻辑首先是由欣提卡提出的，他的目的是为了用逻辑的方法来刻画知识与信念，并建立相应的形式系统，它可以用来处理主体关于当前世界的信息状态，也可以处理主体关于当前世界信息的信息，即所谓的高阶信息，但这种逻辑是一种静态的逻辑，它无法处理信息之间的流动与交互，因此基于认知逻辑，引入更新算子，即发展为动态认知逻辑，它是认知逻辑的简单扩充，通过动态算子，主体间的信息交互便可以得到精确地刻画，它的作用机制就是通过一个公式，达到对当前信息状态的更新，从一个旧的世界模型过渡到一个新的世界模型，但它处理的信息都是确定的，现实中充满了不确定性，为了更好地处理这种不确定性，借鉴概率论这一有力的工具，通过引入概率算子，发展为概率认知逻辑，并将其与动态认知逻辑相结合，即得到所谓的概率动态认知逻辑，既可以用来处理信息的发展变化，又可以处理信息的随机性与不确定性。

关键词：概率;更新;动态认知逻辑

1.引言

认知逻辑开始于Hintikka，他的主要目的是为了概念性地分析知识和信念。认知逻辑特别地用来处理给定当前的信息，一个主体认为什么是可能的，这种信息也包含关于其他主体所具有的信息的信息，从这种意义上来说，认知逻辑也可以处理高阶信息，即关于信息的信息。尽管认知逻辑提供了一种处理高阶信息的方法，但信息变化却不在它研究的范围之内。动态认知逻辑是基于认知逻辑的扩张，并且可以处理信息变化，一方面受到自然语言语义的启发，句子的意义被看做是一种改变听话者信息的方式，另一方面是受到博弈理论的启发，信息交换发生并且高阶信息扮演一种重要角色。

2.动态认知逻辑的产生与发展

信息是用来交流的，因此知识和信念不是静态的，许多逻辑学家都注意到了这点，在认知逻辑语境下，动态认知逻辑是基于认知逻辑的扩张，其中动态算子可以使我们形式化地推理关于信息的变化。它的产生来自于形式语言学、计算机科学和哲学逻辑等学科的发展。

动态认知逻辑研究的信息变化不同于科学哲学中的剧烈的信息变化，在那里整个理论被替代，也不同于信念修正中的信息变化，在那里主体认为不可能的事情却发生了，世界观也由此而彻底改变，动态认知逻辑关注的是日常的平静的信息变化，类似于概率论和博弈论中信息变化，以一种零散的方式处理碎片化的信息。

在动态认知逻辑中，引入新的信息称之为更新，一个简单的例子是一个主体学到了某个特定的句子成立，更新这个句子指的是主体认为这个句子不成立的状态被移除，从而产生一个新的状态的集合。更新的方式不限于句子，还可以由其他更复杂的更新方式。

动态认知逻辑的发展部分地受到Groenendijk和Stokhof在语言哲学和语言语义学方面关于信息变化的动态解释语义工作的启发。另一个导致动态认知逻辑的发展是动态模态逻辑，它包含形如[π]φ的公式，读作“成功地执行一个程序π，到达一个φ可满足的状态”，它同时还包含认知算子，用来推理信息及其变化。

进一步的启发来自于信念修正，这是哲学逻辑的一个分支，用来处理信念方面的变化，但修正与更新在处理问题方面是有不同的，一个侧重于信念，一个关注于信息的事实的变化。

动态逻辑认知化的第一步是有van Benthem 作出的，他建议用动态模態逻辑来刻画信息变化，使用动态算子表述事实的改变，即把变量看作命题变量。

认知逻辑动态化的第一步是由Plaza作出的，独立地，Gerbrandy 和Groeneved得到了同样的结果。Plaza为公开宣告定义了一个逻辑，他的算子不是一个动态模态算子，而是一个二元的命题连接词。Gerbrandy 和Groeneved的文章被认为是公开宣告逻辑的更新语义历史的基石。

进一步的发展是刻画比公开宣告更复杂的行为，例如纸牌游戏中的行为，不同的主体对于某个行动会有不同的观点，即某个主体可以看到某个行动在进行而其他主体却知道到底发生了什么。

最近的发展包括将事实的变化引入到表达认知变化的语言中，使用动态模态算子刻画基于偏好的信念修正，以及其他将动态认知逻辑与AI语义结合起来刻画行动以及行动的变化的许多不同的方案。

3.概率与认知逻辑的结合

概率论是一门发展的很充分的学科，在概率哲学中，对客观概率和主观概率做出了区分，或者说统计概率和命题概率，一个统计概率陈述是关于具有某种性质的个体的比值，一个命题概率陈述表达的是某个个体具有某种性质的概率。从可能世界语义的观点来看，一个统计概率是一个可能世界的一种性质，具有某种性质的个体的比值是或者不是一个特定的实数，在这种意义上一个统计概率是物理现实的一部分。另一方面，命题概率似乎是一个涉及多个可能世界的模态概念。如果一个个体在不同的可能世界中具有不同的性质，则他具有某有性质的概率是他在具有这种性质的可能世界的集合的比，在这种意义上命题概率不是物理现实的一部分，如果可能世界之间的可及关系解释为认知可及，则命题概率表达的是关于命题的信念度。

随着人工智能的发展和广泛应用，关于不确定知识的推理日益成为学者们研究的重要课题，为了适应这种需要，Nilson[1]基于经典逻辑的二值语义，将命题的真值推广到[0，1]区间的任意实数，从而给出了概率的语义解释。

综合以上分析可知，概率公式的语义解释无非就两种类型，一种是将概率赋值给非空域中的状态，然后对概率分布进行求和，就得到当前状态所求事件的概率;另一种是将概率直接赋值给非空域的子集，根据子集的可测与否，又分为两种不同的情况。无论是哪一种解释类型，在给出概率公式的语义时，其底部的框架都是标准的克里普克结构，然后直接引入概率空间或概率函数形成新的概率模型。当然这种做法是很自然的。但是也可以基于一般框架而引入概率测度，因为一般框架具有良好的代数性质，其中的可允许赋值集自然的满足集合运算的封闭性，本质上就是一个σ-代数，由此可以直接引入概率测度而生成一个概率空间，并且直接地可以将概率指派给赋值，即可允许赋值集中的元素，从而自然的给出概率公式的语义解释。然后利用一般框架所具有的良好性质，进而可以研究逻辑系统的相关性质，例如完全性与可判定性。

參考文献

[1]Nilsson N J. Probabilistic logic[J]. Artificial Intelligence， 1986， 28（1）：71-87.

[2]Kooi B P. Probabilistic Dynamic Epistemic Logic[J]. Journal of Logic Language & Information， 2003， 12（4）：381-408.

[3]Fetzer J H， Nute D E. Syntax， semantics， and ontology： A probabilistic causal calculus[J]. Synthese， 1979， 40（3）：453-495.

[4]Fagin R， Halpern J Y. Reasoning about Knowledge and Probability[J]. Journal of the Acm， 1994， 41（2）：340--367.

[5]Fagin R， Halpern J Y， Megiddo N. A logic for reasoning about probabilities[M]. Academic Press， Inc. 1990.

[6]Baltag A， Smets S. Probabilistic dynamic belief revision[J]. Synthese， 2008， 165（2）：179.

[7]Halpern J Y， Tuttle M R. Knowledge， probability， and adversaries[J]. Journal of the Acm， 2001， 40（4）：103-118.

[8]Ikodinovi， Neboj， Ognjanovi， et al. Hierarchies of probabilistic logics[J]. International Journal of Approximate Reasoning， 2014， 55（9）：1830-1842.

[9]Cross C B. From worlds to probabilities： A probabilistic semantics for modal logic[J]. Journal of Philosophical Logic， 1993， 22（2）：169-192.

[10]Sack J. Extending probabilistic dynamic epistemic logic[J]. Synthese， 2009， 169（2）：241-257.

[11]Benthem J V， Gerbrandy J， Kooi B. Dynamic Update with Probabilities[J]. Studia Logica An International Journal for Symbolic Logic， 2009， 93（1）：67-96.

[12]Halpern J Y. An analysis of first-order logics of probability [J]. Artificial Intelligence， 1990， 46（3）：311-350.

[13]Demey L. Agreeing to Disagree in Probabilistic Dynamic Epistemic Logic[J]. Synthese， 2014， 191（3）：409-438.

[14]Jaeger M. A Logic For Inductive Probabilistic Reasoning[J]. Synthese， 2005， 144（2）：181-248.

[15]Gerbrandy J， Groeneveld W. Reasoning about Information Change[J]. Journal of Logic Language & Information， 1997， 6（2）：147-169.