正密堆积的情形与性质研究

摘要：文章主要基于一类特殊而又典型的球体密堆积问题，定义了这类球体的密堆积──正密堆积，计算并证明了正密堆积只可能出现的3种情形. 在此基础上，结合首先推导的圆锥型立体角与其正投影的平面角之间的换算关系，归纳了正密堆积的3个重要性质.分析其性质和相关学科的发展，展望了正密堆积可应用的领域.由此，展现了正密堆积问题的基础性和重要意义.

关键词：密堆积;正密堆积;立体角;球体;外切;半径之比

0、引言

有一类有趣的问题，叫做“牛顿数问题”. 牛顿数，是与一个 维球外切的等维球的个数. 很明显，二维的牛顿数是6，牛顿认为三维牛顿数是12，却没证明. 直到1953年，科特.舒特等人才证明了三维牛顿数是12. 2003年，奥莱格.穆辛证明了四维牛顿数为24. 五维及以上的牛顿数，只求解了部分. 目前，许多相关研究都集中在越来越高维的牛顿数上，而忽略了同一维度下，不同半径之比的球相切问题. 而本文的目的就是：详细探究一类不同半径之比的三维球体的密堆积问题. 这是一类基础的问题，无论是在数学理论中，还是物理应用中，都起着基石的作用.

1、圆锥型立体角与其正投影的平面角度数之间的换算关系

球体正密堆积时，其外球的球心做顶点构成的是正多面体，并且每一面都是正三角形，每一条边只参与两个正三角形的构成. 又由于所有外球紧密堆积，所以任意两相切的外球，都有且仅有另外两个外球与这两个球同时相切.

最后，对球体的正密堆积问题的研究及应用做一些展望. 由于球体正密堆积时，外球的分布高度对称[3]，这可用于空间分形与自相似领域. 本文研究的是球体密堆积的一类，但却是特殊而又重要的一类. 从正密堆积问题着手，可深入探究所有球体的密堆积问题.另外，我们都知道，数学的模型大多都能运用于物理领域.球的密堆积问题正可运用于固体物理的晶体结构方面[4].如讨论不同原子组合成分子时，将不同原子看着不同半径的球体，利用球体的正密堆积性质，可为解决相关问题提供新思路[5]. 因此，球体的正密堆积问题非常基础，其应用的范围也将非常广泛，對球体的正密堆积问题研究具有非常重要的意义.

参考文献：

[1]赵凯华，陈熙谋.电磁学[M].第三版北京：高等教育出版社，2011：82-87.

[2]欧阳光中，朱学炎，金福临等.数学分析（上册）[M].第三版北京：高等教育出版社，2007：337-339.

[3]张文静，汤华彪，朱艳艳等.浅谈质心分数坐标在等径圆球密堆积空隙中的应用[J].大学化学，2018，33（9）：95-104.

[4]黄昆，韩汝琦.固体物理学[M].北京：高等教育出版社，1988：3-5，15.

[5]赵述敏，胡志刚.椭球颗粒随机紧密堆积实验研究[J].西安交通大学学报，2016，50（9）：140-145.

作者简介：张书瑞，出生年月：1997.09.03，性别：男，民族：汉，籍贯：重庆市垫江县，学历：本科在读，研究方向：理论物理、数学物理方法等.