函数与方程思想在数列中的应用

湖北省十堰市郧西职业技术学校 梅书彩

函数与方程思想是高中数学最重要的数学思想，它是从问题中的数量关系分析入手，运用数学语言将问题描述转化为数学模型、函数、方程、不等式（组），然后通过函数性质、图像或解方程、不等式（组）获得问题解决，经常使用会使学生运用自如，思维开阔，优化解题策略，提高解题能力。

数列是定义域为正整数集（或其子集）的特殊函数，等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式都可以看成项数的函数。因而，某些数列问题常可以利用函数与方程的思想来分析，用函数与方程的思想来解决。下面从几个方面探讨函数与方程思想在数列问题中的应用。

一、数列中基本量a1，d(q)，n 的计算问题

例1 若{an}是等差数列，a15=8，a60=20，求a75。

例2 等比数列{an}的各项均为正数，若该数列的前n项和为Sn，且Sn=80，S2n=6560，在前n项和中，数值最大的一项为54，求数列{an}的首项和公比。

解：设公比为q，由S2n-Sn=6480 ＞Sn知q＞1，

又an＞0，所以前n项中最大项为an=a1qn-1=54 （1）

（2）（3）式联立解得a1=2,q=3。

评述：等差数列、等比数列是两类特殊的数列，是高考的重要考点，它们的通项公式和前n项和公式中有5 个元素：a1,n,d(q),an,Sn，其中a1,n,d(q)是基本量，5 个元素中“知三求二”，列方程或方程组求解。

二、通项公式an 的求解问题

例3 已知数列{an}是等差数列，且a5=11,a8=5，求数列{an}的通项公式。

解得a1=9,d=-2，

所以an=19+(n-1)(-2)，即an=-2n+21。

本例是等差数列的简单问题，但是体现了方程与函数思想在数列中的应用。根据两个独立条件解出两个量a1和d，进而写出an的表达式，几个独立条件就可以解出几个未知数，这是方程思想的应用。等差数列通项公式an是n的一次函数，前n项和Sn是n的二次函数，等比数列通项公式an是n的指数型函数，故有关问题可考虑相应的函数性质，以助问题的解决。

例4 已知数列{an}是以2 为首项，1 为公差的等差数列，{bn}是以1 为首项，2 为公比的等比数列，求数列{abn}的通项公式。解：由题意可知an=2+(n-1)×1=n+1，bn=1×2n-1=2n-1，所以abn=2n-1+1。

本例乍一看让很多学生茫然不知所措，但明确数列的通项公式本质是函数的解析式，类比求函数解析式中已知f(x)，求f(g(x))，用代入法问题就迎刃而解了。

由此可见，函数与方程思想贯穿数列问题的始终，数列问题的解决离不开函数与方程思想的灵活应用。用函数与方程的思想研究数列问题，会让我们对数列的认识更全面、理解更深刻，能从根本上提高我们的学习能力、思维能力及创新能力。